ЭУМК по дисциплине "Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени" › Теория › Тема 8. Формирование случайных процессов, матричные операции

# Электронный учебно-методический
комплекс по дисциплине
"Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени"

для специальности

1-40 02 02 «Электронные вычислительные средства»

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах

Тема 8. Формирование случайных процессов, матричные операции
8.1. Формирование случайных процессов с заданной спектральной плотностью мощности
8.1.1. Многомерный формирующий фильтр

Система автоматизации динамических вибрационных испытаний сложных технических объектов распадается на три отдельные части, обладающие определенной автономией и имеющие возможность независимо наращиваться или сокращаться:

- подсистема формирования R-мерного векторного случайного процесса;
- подсистема спектрального анализа;
- подсистема управления виброакустическим экспериментом.

Пути развития систем автоматизации стендовых испытаний определяются взаимодействием выделенных трех частей.
Под R-мерным векторным дискретным процессом понимается вектор-столбец

| X = [x1(n) x2(n) ... xR(n)]T , | (8.1)

компоненты которого xr(n), r = 1…R; n = 0…N-1 являются числовыми последовательностями {xr(n)} длины N. На основании свойств ДПФ данные систем обработки векторных процессов могут быть также структурированы в виде D-мерного комплексного вектора

| Z = [z1(n) z2(n) ... zD(n)]T , | (8.2)

где zd(n) = x2d-1(n) + jx2d(n), d = 1…D; D = R/2 , если R – четное, и D = (R+1)/2, если R – нечетное (при этом принимается, что xR+1(n) = 0 для всех n).
При проведении стендовых испытаний объектов на пространственно-многомерную случайную вибрацию необходимо получить R-мерный векторный случайный процесс с заданной матрицей СПМ. Вибрации реальных объектов адекватны воздействию на испытываемые изделия R-мерного векторного случайного процесса:

| ξ(t): xt ∈ X ⊂ Rr , |

где ξ(t) – вектор, описывающий колебания точек объекта (перемещение, скорость или ускорение) в координатном пространстве Rr (для твердого тела r=6); xt – выборочная функция случайного процесса, а Х – область его значений. Многомерный характер колебаний объекта связан с тем, что при эксплуатации объекта на него воздействует множество источников вибрации, под действием которых каждый элемент конструкции совершает сложные пространственные перемещения, причем эти перемещения в различных ортогональных направлениях коррелированны между собой.
При моделировании случайных процессов широко используются два способа формирования случайного процесса. Первый способ заключается в формировании реализаций случайного процесса на основе представления их в виде суммы детерминированных функций и величин.
Второй способ получения нормальных стационарных процессов с заданной матрицей СПМ S(w) основан на свойстве линейных динамических систем изменять спектр широкополосного входного сигнала

| ξr(t): ∀ t, ∀ τ, t≠τ, Rr(t, τ)=0, r=1…R , | (8.3)

с нулевым математическим ожиданием М[ξr(t)]=0 и матрицей спектральной плотности

| Sξ = σ2 E , | (8.4)

где σ2 – дисперсия процесса белого шума ξ(t); R(t, τ) – корреляционная функция белого шума; E – единичная матрица.
Линейное преобразование вектора ψ = [ψ1(p), ψ2(p), ... ψR(p)]T имеет вид

| X(p) = A ψ(p) + m , | (8.5)

где [m1, ..., mR]T – вектор математических ожиданий; А – матрица преобразования (передаточная матрица многомерного цифрового формирующего фильтра (МЦФФ)), предполагаемая треугольной, т.е.

p=d/dt – оператор преобразования Лапласа.
МЦФФ описывает матрица A(k) дискретных передаточных функций aqp(k) между q выходом и p входом.
СПМ процесса на выходе фильтра (8.5) в случае выполнения условий (8.3) и (8.4) связана с его передаточной матрицей соотношением

| S(z) = G(z)·GT(z-1) , | (8.6)

где G(z) = ||glr(z)||1R – передаточная матрица формирующего цифрового фильтра (ЦФ); z = exp(jwt) – переменная z-преобразования. При этом S(z) является эрмитовой матрицей:

| ||Slr(z)||1R = ||Srl(z-1)||1R | (8.7)

и полностью определена своими R(R+1)/2 элементами: Slr(z), l=1…R; r=1…l.
Если на входе МЦФФ случайный процесс с корреляционной матрицей

| ||δlr(z)||1R , |

где

δ – символ Кронекера, то выполняются условия

|  | (8.8)

Структура такого МЦФФ представлена на рис.8.1, где ξ(nΔt) – входной векторный случайный процесс с единичной матрицей СПМ, x(nΔt) – выходной векторный случайный процесс с заданной матрицей СПМ, S – сумматоры, × – умножители, Kr – коэффициенты усиления.

###

### Рисунок 8.1 – Структура многомерного цифрового формирующего фильтра

Для построения формирующего цифрового фильтра, как следует из выражения (8.6), требуется найти физически реализуемую матрицу G(z).
Из формулы (8.8) видно, что все элементы gik(z) матрицы G(z) могут быть определены последовательно по следующей рекуррентной формуле

|  | (8.9)

причем |  |

Связь между матрицами СПМ входного x(n) = [x1(n) x2(n) ... xR(n)]T и выходного y(n) = [y1(n) y2(n) ... yR(n)]T процессов задается соотношением

| Sy(k) = W*(k) Sx(k) WT(k) , | (8.10)

где W(k) – матрица передаточных функций тракта вибратор-объект:

|  | (8.11)

Подставив (8.11) в (8.10), получим

|  | (8.12)

где Sxsm(k) определяется по формуле (8.8).
Учитывая свойство (8.7), а также, что

система (8.12) может быть записана в следующем виде:

|  | (8.13)

Для объекта с диагональной передаточной функцией система уравнений (8.13) упрощается

|  | (8.14)

Определив элементы формирующей матрицы G(z) можно перейти к определению параметров цифрового рекурсивного фильтра (ЦРФ):

или цифрового нерекурсивного фильтра (ЦНФ):

|  | (8.15)

Основное отличие ЦНФ от ЦРФ в том, что он всегда устойчив, так как его передаточная функция не дробно-рациональная, а полином. Алгоритм (8.15) не нашел в "чистом виде" достаточного применения из-за большой вычислительной сложности – порядка m2 операций (m – число коэффициентов ai ). Применение алгоритмов БПФ позволяет значительно сократить количество операций умножения.
Недостаток метода цифрового формирующего фильтра (ЦФФ) – сложность расчета передаточной функции. Достоинства данного метода заключаются в следующем: непрерывный выходной сигнал, СПМ случайного процесса управляется на произвольных частотах, возможность значительного повышения скорости формирования случайного процесса за счет коротких вычислительных процедур в ЦФФ.

8.1.2. Спектральный анализ R-мерного векторного процесса

Широкий частотный диапазон формируемых и анализируемых процессов, быстротечность виброиспытаний требуют поиска новых алгоритмических, программных и архитектурных решений для вычислительных систем обработки и управления R-мерными векторными процессами. Только одновременное и сбалансированное решение данных трех задач, однородность алгоритмического обеспечения анализа, синтеза и управления, учет их взаимосвязи могут обеспечить реальное и существенное повышение интегральной производительности и эффективности системы.
Положим, что fS – частота поступления входной последовательности {xr(n/fS), n = } процесса xr(t), r = , ограниченного полосой F (fS = kF, где k – коэффициент, выбираемый согласно теореме Котельникова). Требуется вычислить в РВ оценки СПМ в частотном диапазоне Fq ∈ {F0 ,..., FQ}.
В схеме математической модели задачи непараметрического оценивания СПМ конечной выборки {xr (n/fS)} стационарного случайного процесса на основе метода усреднения периодограмм {Xr(k), k = } взвешенных временным окном перекрывающихся сегментов данных можно выделить следующие этапы обработки:
1) фильтрация и регистрация последовательности (рис.8.2), где

###

### Рисунок 8.2 – Фильтрация и децимация анализируемого процесс

2) вычисление векторного ДПФ; 3) усреднение; 4) определение оценок СПМ.
Определение 1. Под векторным дискретным преобразованием Фурье будем понимать отображение VDFT вектора в вектор

| U = [U1(k) U2(k) ... UD(k)]T , |

компоненты которого Ud(k), d = ; k = представляют собой ДПФ последовательностей {zd(n)} длины N, являющихся компонентами D-мерного векторного процесса Z. VDFT: Z -> U такое, что для любого n, k, d; n = ; k = ; d = ; Ud(k) = DFT [zd(n)], где DFT [zd(n)] – ДПФ последовательности {zd(n)} длины N, т.е. покомпонентное преобразование D-мерного векторного процесса Z.
Из определения 1 следует, что векторное ДПФ является независимым, совместным преобразованием D компонент D-мерного векторного процесса Z и представляет собой множество ДПФ формата N.
Дискретное преобразование Фурье U(k) комплексной последовательности {z(n)} длины N (n = ) определяется выражением:

где .
Если последовательность {x(n)} длины N является действительной, то её ДПФ X(k) удовлетворяет следующим условиям симметрии:

|  | (8.16)

Свойства симметрии (8.16) позволяют с помощью одного ДПФ комплексной последовательности одновременно определить ДПФ двух действительных последовательностей. Если {x1(n)} и {x2(n)} действительные последовательности длины N, X1(k) и X2(k), k = их ДПФ соответственно, а U(k) = Re[U(k)] + j Im[U(k)], k = ДПФ комплексной последовательности z(n) = x1(n) + j x2(n), n = , то:

В матричной форме ДПФ определяется следующим образом:

| U = WN Z, |

где U и Z – векторы размера N: U = [ U(0) U(1) ... U(N-1) ]T, Z = [ z(0) z(1) ... z(N-1) ]T , WN – матрица размера N × N, элементы которой определяются следующим образом

| Wnk = WN(nk)modN , n, k = . |

Тогда выражения (8.30) можно записать следующим образом

| [ ReX1 ImX2 ]T = ( EN + IN/2 Ä B' ) ReU , | (8.17)

| [ ReX2 ImX1 ]T = ( EN/2 & Ä B'' + IN ) ImU , | (8.18)

где ReX1, ImX1, ReX2, ImX2 – векторы размера N/2:

| ReX1 = [ Re(X1(0)) ... Re(X1(N/2-1)) ]T, ImX1 = [ Im(X1(0)) ... Im(X1(N/2-1)) ]T, ReX2 = [ Re(X2(0)) ... Re(X2(N/2-1)) ]T, ImX2 = [ Im(X2(0)) ... Im(X2(N/2-1)) ]T; |

E – единичная матрица размера N × N; I – матрица перестановки размера N × N

Ä – прямое произведение матриц (произведение Кронекера).
Применяя матричный подход, векторное ДПФ можно определить следующим образом.
Утверждение 1. Пусть Z есть D-мерный векторный процесс (8.2). Представим последовательности {zd(n)}, n = вектор-столбцами zd = [ zd(0) zd(1) ... zd(N-1) ]T. Тогда векторное ДПФ U вектора Z в матричной форме определяется следующим образом:

| U = ( WN Ä ED ) Z , | (8.19)

Так как на практике компоненты xr(n), r = ; n = векторного процесса Х представляют собой действительные последовательности {xr(n)} длины N, то для векторного ДПФ могут быть получены соотношения, аналогичные (8.17), (8.18).
Утверждение 2. Пусть Х R-мерный векторный процесс (8.1). Сформируем новый D-мерный вектор Z согласно (8.2). Тогда, вычислив ДПФ вектора Z по (8.19)

| U = ( WN Ä ED ) Z = ReU + j ImU, |

Вектора ReXr = [ Re(Xr(0)) Re(Xr(1)) . . . Re(Xr(N/2-1)) ]T и ImXr = [ Im(Xr(0)) Im(Xr(1)) . . . Im(Xr(N/2-1)) ]T можно определить следующим образом

| [ ReX1 ImX2 ReX3 ImX4 . . . ReX2D-1 ImX2D ]T = = (( EN + IN/2 Ä B' ) Ä ED ) ReU, | (8.20)

| [ ReX2 ImX1 ReX4 ImX3 . . . ReX2D ImX2D-1 ]T = = (( EN/2 Ä B'' + IN ) Ä ED ) ImU, | (8.21)

Утверждение 2 позволяет сформулировать укрупненный алгоритм вычисления ДПФ R-мерного действительного векторного процесса Х:
1) сформировать комплексный D-мерный вектор Z вида (8.2);
2) вычислить ДПФ вектора Z в соответствии с выражением (8.19), т.е. выполнить D одномерных преобразований формата N и найти вектор U;
3) определить вектора ReXr и ImXr, r = 1…R по (8.20) и (8.21).
Разнообразие решаемых задач обуславливает построение блока анализа в виде спецпроцессора, программно управляемого от системной микроЭВМ.
Из рассмотренного выше можно сделать следующий вывод: при вычислении векторного ДПФ возникают две взаимосвязанные проблемы. Во-первых, каким образом выполнять совместно множество независимых одномерных ДПФ. Во-вторых, как вычислять каждое отдельное преобразование. При этом возможны два подхода к вычислению векторного ДПФ:
1) многократно применить некоторый алгоритм вычисления ДПФ формата N таким образом, чтобы поочередно выполнить преобразования всех последовательностей;
2) однократно применить некоторый алгоритм вычисления ДПФ формата N таким образом, чтобы каждая операция алгоритма выполнялась параллельно над всеми последовательностями.

Ответы на эти вопросы в значительной степени определяются требованиями, предъявляемыми решаемой задачей к алгоритмам и архитектурной реализации вычисления ДПФ в реальном времени.

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах
© БГУИР , 2012