ЭУМК по дисциплине "Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени" › Теория › Тема 8. Формирование случайных процессов, матричные операции

# Электронный учебно-методический
комплекс по дисциплине
"Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени"

для специальности

1-40 02 02 «Электронные вычислительные средства»

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах

8.2. Программирование матричных операций
8.2.1. Метод синтеза и алгоритмы формирования R-мерного векторного случайного процесса

Задача синтеза R-мерного векторного случайного процесса заключается в получении последовательности отсчетов {xr(n/fS)}, n= процесса xr(t), r = ограниченного полосой Fq ∈ {F0 ,..., FQ} и распадается на три отдельных этапа: 1) формирование числовой последовательности с заданной СПМ с помощью МЦФФ; 2) интерполяция и фильтрация последовательности в полосе Fq (рис. 8.3):

###

### Рисунок 8.3 – Интерполяция и фильтрация формируемого процесса

3) выдача последовательности {xr(n/fS), n=} в канал цифро-аналогового преобразования.
При входном процессе ξ(t) (8.3) передаточная матрица G МЦФФ связана со СПМ процесса х на выходе фильтра соотношением (8.8). При этом справедливо утверждение.
Утверждение 3. Если передаточную матрицу G(k) МЦФФ представить в виде блочной размерности 2R × 2R:

а весовые коэффициенты Фурье моделируемого процесса х(n) и шума ξ(n) как 2R – мерные вектора

| X(k) = [ ReX1(k) ... ReXR(k) ImX1(k) ... ImXR(k)]T, ψ(k) = [ Reψ1(k) ... ReψR(k) Imψ1(k) ... ImψR(k)]T, |

то процедура

|  | (8.22)

формирует R-мерный векторный случайный процесс с заданной СПМ. Здесь VDFT-1 и VDFT – прямое и обратное преобразование векторного ДПФ согласно определению (8.19); = диагональ (1 ... R ) – среднеквадратическое отклонение компонент R-мерного векторного процесса.
При управлении только модулями взаимной спектральной плотности мощности формирующая матрица G(k) с учетом математической модели (8.14) и расчетных соотношений (8.9) будет иметь вид

а компоненты вектора Х(k) определяются следующим образом (R=3):

Итак, анализ процедуры (8.22) формирования R-мерного векторного случайного процесса показывает, что ядром ее является алгоритм векторного ДПФ, композиция которого с вычислительной процедурой умножения вектора на матрицу приводит к выполнению необходимой функции системой. При этом необходимо быстрые вычислительные алгоритмы ДПФ модернизировать для обработки R-мерных векторных процессов.
В зависимости от варианта структурирования матрицы G (рис.8.4) возможно организовать мультизадачный режим работы. Например, для приведенных случаев имеем: один R-мерный векторный процесс; два R/2-мерных векторных процесса; 1/4R- и 3/4R-мерные векторные процессы; R одномерных процессов.

###

### Рисунок 8.4 – Варианты структурирования матрицы G

8.2.2. Матричный алгоритм управления

Возможной альтернативой алгоритмам управления на основе стохастической аппроксимации является обратный метод, используемый только для вычисления нулевого приближения. При применении обратного метода для управления нелинейными объектами используется итерационная процедура локальной линейной аппроксимации нелинейной динамической системы относительно последовательности рабочих точек (рабочих режимов объекта управления). Для каждого последующего шага управления входной спектр SX (регулирующее воздействие) определяется по значению программы испытаний SP и АЧХ объекта Wn-1, найденным на предыдущем шаге:

|  | (8.23)

где

|  | (8.24)

Подставив (8.24) в (8.23), получим

|  | (8.25)

Из рассмотрения данного выражения следует, что система управления, в которой будет использован алгоритм (8.25), может действовать без специальной процедуры идентификации и вычисления нулевого приближения. В многомерном случае при использовании обратного метода на каждой итерации необходимо решать систему алгебраических уравнений (8.13) или (8.14), а также:

где SP – спектральная матрица программы испытаний; – спектральная матрица входных процессов на n-й итерации; , – комплексно-сопряженная и транспонированная матрицы линеаризированных передаточных функций объекта на (n-1)-й итерации, соответствующие входным сигналам со спектральной матрицей .
Для R = 2 можно получить следующие соотношения:

|  | (8.26)

|  | (8.27)

Если воспользоваться математической моделью (8.14) в которой |Wii|2 >> |Wij|2 при i ≠ j; i, j = , то (8.26) и (8.27) приводятся к виду

Отсюда с учетом (8.24) можно получить:

Причем для взаимной спектральной плотности мощности справедливо уравнение

Таким образом, каждое новое значение спектральной плотности процесса на n-й итерации может быть определено по значениям входных и выходных спектральных плотностей на (n-1)-й итерации как (8.25). Далее находятся компоненты матрицы G МЦФФ (8.9). Однако в многосвязном объекте управления, как следует из (8.26), (8.27) и математической модели объекта, процедура управления не простая, а главное, нет возможности вести раздельное управление по собственным и взаимным компонентам спектральной матрицы SX . В связи с этим представляет интерес применение идей автономизации каналов, что позволяет реализовать любые спектры при условии невырожденности задачи. Действительно, если в объекте отсутствуют перекрестные связи, т.е. в системе осуществляется полная автономизация каналов, то, любой заданный амплитудный спектр для линейных объектов оказывается физически реализуем.
Из изложенного выше следует необходимость разработки способов и устройств, позволяющих привести матрицу W объекта управления и соответствующим образом включенного с ним корректирующего устройства (КУ) к диагональному виду. Простейшим способом, позволяющим решить данную задачу, является применение последовательно включенного с объектом корректирующего устройства с передаточной матрицей V, равной обратной матрице W-1 объекта.
Запишем уравнения связи между входными и выходными изображениями Лапласа для матричного КУ и испытуемого объекта

| V X = Z, W Z = Y, | (8.28)

где Z = [ Z1 , ..., ZR ]T – выходной вектор КУ. Далее из (8.28) получаем

| W V X = Y . |

Поэтому для V = W-1 имеем

| Y = W W-1 X = X . |

Обозначим через М произведение матрицы корректирующего устройства и объекта M = W V. Требуется найти такое корректирующее устройство , чтобы W = ER, где ER – единичная матрица размерности R. Помножив слева на W-1 правую и левую части данных уравнений, получим соответственно W-1 M = V и = W-1 ER. После умножения справа на M-1 имеем V M-1 = W-1 M M-1 = W-1 ER и = V M-1 = V ER M-1. Отсюда следует, что при управлении матрица М стремится к ER. Переходя к итерационной процедуре, получим матричный алгоритм управления:

|  | (8.29)

Для R = 2 согласно (8.29) управление компонентами матрицы КУ на любой частоте k осуществляется согласно следующим выражениям:

где D = М11 М22 - М12 М21 определитель матрицы М, а обратная матрица

Таким образом, возможны два альтернативных алгоритма управления R-мерным векторным случайным процессом (рис. 8.5): управление компонентами матрицы G МЦФФ посредством алгоритма (8.25) при условии, что V = W-1 и управление компонентами матрицы V согласно (8.29) при условии, что матрица G МЦФФ синтезирована непосредственно по SP. Выбор одного из алгоритмов будет, очевидно, определяться исходя из вычислительной трудоемкости в заданных вибрационных условиях.

###

### Рисунок 8.5 – Управление R-мерным векторным случайным процессом

Согласно принятому выше предположению линеаризации объекта следует, что матрица взаимных спектральных плотностей процессов на входе и выходе системы "объект+КУ" Sxy выражается через спектральную матрицу входного процесса следующим образом:

| Sxy = M* Sx. | (8.30)

Уравнение (8.30) линейное относительно матрицы М*, которую надо определить.
Эксперимент по определению матрицы М состоит в следующем. На входе системы "объект+КУ" формируем процесс х(t). Для этого весовые коэффициенты Фурье (ВКФ) Ψ(k) процесса типа белого шума ξ(t) умножаем на формирующую матрицу МЦФФ G и результат этого умножения – ВКФ X(k) процесса x(t) – подвергнем обратному векторному преобразованию Фурье, по (8.22). Спектральная плотность такого процесса определяется (8.6), при условии, что исходный процесс имеет единичную спектральную матрицу.
Таким образом, задавшись какой-либо спектральной матрицей SX (возможно и SX = SP), определив согласно уравнению (8.8) формирующую матрицу G и затем, выполнив операцию (8.22), подаем полученный процесс на систему "объект+КУ". Измеряем реакцию объекта – векторный случайный процесс y(t), находим его ВКФ Y(k) и оценку матрицы I согласно формуле

где Y(k) – ВКФ процесса y(t); ko – количество усредненных отсчетов; n – номер частотного диапазона. По формуле

|  | (8.31)

определяем оценку матрицы взаимных спектральных плотностей входного и выходного процессов Iyx.
Если взять матрицу SX = E, то G = Е, а матрица Iyx будет равна матрице W (при условии, что V = E) (см. (8.30) и (8.6)): Iyx = W*. Далее определяем V как W-1 . Идентификация объекта закончена. Определено нулевое приближение. Далее, согласно математической модели (8.14) возможно применение итерационного алгоритма управления компонентами матрицы Sx (8.25).
Если матрица Sx отлична от единичной (некоторая n-я итерация алгоритма управления (8.29)), то требуется решить матричное уравнение (8.30). Воспользуемся тем, что спектральная матрица входного процесса x(t) допускает разложение (8.6). Подставив в уравнение (8.30) выражение для Sx вида (8.6), получим

| M* G* GT = Syx. |

Обозначим

| M* G* = Q. | (8.32)

Уравнение (8.30) перепишется в виде

| Q GT = Syx. |

Отсюда определим элементы матрицы Q (вместо элементов истинной матрицы Syx используются их оценки Iyx, вычисленные согласно формуле (8.31)):

По найденным значениям матрицы Q из уравнения (8.32) находятся элементы матрицы М*:

Вычислив обратную матрицу М-1, находим новое управление Vn согласно алгоритму (8.29).
На основании изложенного можно сделать следующие выводы.
В отличие от итерационных алгоритмов типа стохастической аппроксимации предложенный алгоритм матричной компенсации перекрестных связей в объекте управления приводит к автономизации каналов. В этом случае целесообразнее использовать более простой алгоритм (8.25), не требующий идентификации объекта на каждом шаге, что экономит ресурс испытуемого объекта. Однако при переходе к новому положению рабочей точки должна использоваться своя локальная линейная модель, что требует производить определение новой матрицы М, а, следовательно, и передаточной матрицы V КУ согласно (8.29). Дальнейшее поддержание режима в данной рабочей точке осуществляется по алгоритму (8.25).
Пользуясь разложением матрицы СПМ SX в виде (8.6), удалось при вычислении матрицы М частотных характеристик системы "объект+КУ" дважды применить метод обратной подстановки, позволяющий записать решение в аналитическом виде. При этом возможна проверка точности определения нулевого приближения на промежуточном этапе вычислений (Sy = M* G* GT MT = Q* QT).
При вычислении обратной матрицы М-1 необходимо оценивать степень обусловленности матрицы М и ее влияние на точность определения нулевого приближения спектральной матрицы Sx входного процесса. При этом можно применить процедуру коррекции матрицы М с целью увеличения степени обусловленности до величины, обеспечивающей минимальную среднеквадратическую погрешность расчета нулевого приближения.
Утверждение 4. Если передаточную матрицу V(k) корректирующего устройства представить в виде блочной размерности 2R × 2R

то процедура

формирует такой сигнал на входе объекта управления, что на выходе объекта будет получен R-мерный векторный случайный процесс с заданной СПМ.
Таким образом, процесс на выходе системы определяется выражением

Согласно утверждению 3 такой процесс имеет заданную СПМ, которая определяется передаточной функцией МЦФФ, что и требовалось доказать.
Структурируя матрицу V, согласовано с матрицей G (рис.8.6) можно реализовать мультизадачный режим работы.

###

### Рисунок 8.6 – Варианты структурирования матрицы V

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах
© БГУИР , 2012