ЭУМК по дисциплине "Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени" › Теория › Тема 2. Программирование цифровых нерекурсивных и рекурсивных фильтров

# Электронный учебно-методический
комплекс по дисциплине
"Программирование проблемно-ориентированных вычислительных средств реального времени"

для специальности

1-40 02 02 «Электронные вычислительные средства»

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах

2.4. Анализ точностных характеристик цифровых фильтров
2.4.1. Основные источники ошибок в системах ЦОС

Когда цифровой фильтр или дискретная система реализованы на цифровых арифметических устройствах, и в частности на цифровых процессорах сигналов (ЦПС), кроме рассмотрения временных или частотных характеристик необходимо рассмотреть характеристики, связанные с точностью фильтра или системы. Из-за своей дискретной природы ЦПС представляют переменные и выполняют арифметические операции с конечной длиной слова, в связи с чем наблюдаются три эффекта: 1) при выборе передаточной функции фильтра квантуются полюса и нули фильтра, существующие только в определенных точках z-плоскости, 2) квантуется входной сигнал, и 3) вносится шум квантования при выполнении умножения и деления.
Линейная, стационарная, с одним входом и одним выходом (SISO) система в дискретном времени описывается выражением

| u(k+1) = A u(k) + b x(k) y(k) = c u(k) + d x(k) , | (2.10)

где x(k) – входные значения, y(k) – выходные значения, u(k) – внутреннее состояние системы, A, b, c, d – n x n, n x 1, 1 x n и 1 x1 матрицы с соответствующими действительными элементами aij, bi, cj. Это предполагает, что матрица A асимптотически устойчива с собственными значениями внутри или на единичной окружности, | z | = 1. Элементы aij, bi, cj, d являются сомножителями для арифметическо-логического устройства (АЛУ), которые внутри ЦПС умножаются на внутреннее состояние или входную переменную, и квантуются, потому что они представляются внутри ЦПС цифровыми словами конечной длины.

2.4.2. Квантование передаточных функций дискретных систем

Передаточная функция для (2.10)

| y(z) G(z) = –––– = c (z I - A)-1 b + d , x(z) |

и имеет форму

| βm · zm + βm-1 · zm-1 + . . . + β1 · z + β0 G(z) = ––––––––––––––––––––––––––––––––––– , ζn · zn + ζn-1 · zn-1 + . . . + ζ1 · z + ζ0 | (2.11)

где m = n (правильная передаточная функция), если d ≠ 0, и при m < n (строго правильная передаточная функция), если d = 0.
Знаменатель представляет собой характеристический полином

| det [z · I - A] = 0 , |

где I - n x n единичная матрица. Корни или нули числителя задаются

| N(z) = βm · zm + βm-1 · zm-1 + . . . + β1 · z + β0 = 0 , |

а корни или полюса знаменателя даны характеристическим уравнением

| D(z) = ζn · zn + ζn-1 · zn-1 + . . . + ζ1 · z + ζ0 = 0 . | (2.12)

Квантованные элементы aij, bi, cj, d из {A, b, c, d} определяют полиномиальные коэффициенты передаточной функции. Передаточная функция квантуется также с полюсами и нолями, существующими только в определенных дискретных точках z-плоскости. Квантование передаточной функции изменяет полиномиальные коэффициенты числителя и знаменателя, что приводит к несколько отличной передаточной функции, чем требовалось.
Теперь необходимо определить эффект конечной длины слова для двух полиномов. Для дискретных систем, реализующих фильтры с очень высокой добротностью Q, этот эффект квантования полиномиальных коэффициентов может быть важен, и может даже привести к потере устойчивости фильтра. Имеются несколько методов исследования эффектов квантования коэффициентов, и мы рассмотрим два из них.
Первый метод заключается в разложении интересующего полинома, числителя или знаменателя, в ряд Тейлора для анализа чувствительности коэффициентов. Второй метод геометрических мест корней (процедура корневого годографа) используется для вычерчивания корней полинома как функции величины коэффициента. Первый определяет движение корней точным способом, но второй является более наглядным, так как корни отображаются графически и область устойчивости может быть определена для каждого полиномиального коэффициента.

Оглавление | Программа | Теория | Практика | Контроль знаний | Об авторах
© БГУИР , 2012