Тема №6

6 ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ.

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД.

Изучение медицинских явлений, поиск присущих им закономерностей, как правило, связано с повторением (подчас многократным) однородных наблюдений или опытов. При этом исследователя интересуют не отдельные наблюдения, а их обобщенные характеристики, помогающие понять типичные черты изучаемых явлений. Анализируя результаты нескольких серий наблюдений или опытов, исследователь обнаруживает различия в частоте интересующих его признаков, если эти признаки качественные, либо в величине признаков, если их можно оценить количественно.

Во всех случаях обнаружения разброса значений признака исследователю необходимо выяснить, насколько существенен этот разброс, случаен он или нет и каковы факторы, его определяющие. Для решения этих задач необходимо составить вариационный ряд и вычислить его обобщенные характеристики.

### 6.1 Основные понятия и определения

Всякое множество отдельных объектов, отличающихся друг от друга и в тоже время сходных в некоторых существенных отношениях, составляют так называемую совокупность. Например, дети, родившиеся в стране в течение какого-либо периода времени, молекулы вещества в определенном объеме и т.д.

В состав совокупности входят различные члены или единицы совокупности. Общее число единиц совокупности называется объемом совокупности. Каждая единица совокупности характеризуется определенными признаками. Например, родившиеся дети – весом, ростом и т.д., молекулы вещества - размером, скоростями хаотичного движения и т.д. Каждый признак принимает различные значения у разных единиц совокупности. Значение признака для той или иной единицы совокупности называется вариантой и обозначается Хi (х1, х2, х3,…хi…хn). Варианта – это конкретное значение случайной переменной Хi , т.е. величины, изменяющейся под влиянием многих случайных причин. Различия в значениях признака между отдельными единицами совокупности называется вариацией.

Различают вариацию качественную и количественную. При качественной вариации варианты и различия между ними выражаются каким-либо качеством. В этом случае каждая варианта должна получить качественную характеристику в соответствии с заранее принятыми обозначениями. Например, цвет волос или глаз у родившихся детей. При количественной вариации сами варианты и различия между ними принимают числовые значения. При этом количественная вариация может быть дискретной и непрерывной. При дискретной вариации варианты выражаются целыми числами, между которыми нет и не может быть переходов. Например, количество родившихся детей (1, 2, 3, и т. д.). При непрерывной вариации значения вариант не обязательно выражаются только целыми числами. Все зависит от степени точности, которая принимается для характеристики данного количественного признака (вес или рост младенца, размер вируса или молекулы и т. д.). То есть, между вариантами возможны все переходы. При изучении непрерывной вариации необходимо все единицы совокупности характеризовать с той степенью точности, которая заранее намечена и больше всего подходит в данном конкретном случае.

Совокупность может состоять из других совокупностей, более частных. Например, совокупность детей, родившихся в стране, можно представить в виде совокупностей по отдельным местностям (область, район, город и т.д.).

Наиболее общую совокупность называют генеральной. Это теоретически бесконечно большая совокупность всех единиц, которые к ней могут быть отнесены. Генеральная совокупность есть понятие условно математическое или абстрактное, а на практике обычно используется часть членов генеральной совокупности

Совокупность, состоящую из небольшого количества единиц генеральной совокупности, называют выборочной. Исследователь, как правило, имеет дело с выборочными совокупностями.

Совокупностью является также объем любых наблюдений или измерений отдельных признаков (вес или рост детей, размер молекул и т.д.). Каждое отдельное наблюдение, при котором устанавливается значение случайной переменной, является единицей совокупности.

Чтобы получить исчерпывающую информацию о состоянии той или иной статистической совокупности, нужно учесть весь ее состав без исключения. Однако не всегда приходится прибегать к сплошному обследованию изучаемых совокупностей. Поэтому часто анализу подвергается какая-то часть (выборочная совокупность), по которой и судят о состоянии всей совокупности в целом.

Например, чтобы дать ответ об эффективности некоторого препарата для лечения гриппа, необходимо его проверить в отношении всех больных, страдающих этим заболеванием на земном шаре. Такая группа больных относится к генеральной совокупности. На практике клиническая апробация препаратов проводится на ограниченном контингенте больных (выборочной совокупности).

Сущность выборочного метода исследования заключается в том, чтобы по свойствам части (выборки) судить о численных характеристиках целого (генеральной совокупности). Это возможно, если выбранная для исследования часть репрезентативна целому, т. е. типична и обладает теми же основными чертами, что и все целое. Иными словами, выборка должна «представлять» свою генеральную совокупность. Кроме того, в каждом конкретном случае необходимо устанавливать, с какой уверенностью можно перенести результаты выборочного исследования на всю генеральную совокупность.

Репрезентативность выборочной совокупности исследуемого материала обеспечивается при выполнении следующих основных условий:

- соблюдение правил формирования выборки;

- использование достаточного числа наблюдений.

6.2 формирование выборочной совокупности

При формировании выборочной совокупности отбор из генеральной совокупности единиц для исследования необходимо производить таким образом, чтобы исключить возможность систематической ошибки и тем более любой преднамеренности.

В выборочном методе различают несколько видов отбора единиц из всей совокупности наблюдений:

- собственно случайный отбор;

- механический отбор;

- типологический;

- серийный.

Собственно случайный отбор заключается в том, что каждая единица исследуемой совокупности имеет равновероятную возможность попасть в выборку, так как отбирается каким-либо случайным способом. Для этого обычно применяются:

а) метод жеребьевки, при котором выбор единиц наблюдения осуществляется по жребию. Например, на все единицы совокупности заготавливают одинаковые карточки или жетоны, помещают их в ящик и наугад отбирают необходимое число;

б) метод случайных чисел, когда отбор необходимого числа единиц наблюдения производится из общего количества пронумерованных единиц совокупности с применением генератора случайных чисел.

Механический отбор предполагает отбор определённой части генеральной совокупности в механическом порядке (каждый второй, пятый, десятый). Например, из 252 больных, лечившихся в больнице по поводу бронхиальной астмы, решено последующее наблюдение во внебольничных условиях вести за пятьюдесятью (пятая часть). Механическому отбору подлежит каждый пятый больной, например в порядке регистрации в журнале приемного покоя. Следует учитывать, что такой механический отбор не исключает возможности систематической ошибки.

Типологический отбор состоит в том, что случайный или механический отбор единиц наблюдения производится из однородных групп, на которые разбита генеральная совокупность по какому-либо существенному признаку. Типологический отбор имеет целью повышение репрезентативности выборки и поэтому может быть назван направленным отбором.

Серийный отбор отличается от предыдущих тем, что при нем случайным способом отбираются не отдельные единицы, а их целые группы, или серии. Это удобно, например, при определении групп исследования и контроля.

### 6.3 Определение объема выборочной совокупности

Какой бы способ отбора наблюдений ни применил исследователь, всегда сохраняется вопрос: достаточно ли это число для того, чтобы выборка была репрезентативной?

При планировании исследования необходимое число наблюдений при избранной доверительной вероятности можно рассчитать по формуле:

(6.1)

Где t – доверительный коэффициент;

m – средняя ошибка средней арифметической величины;

s – среднее квадратичное отклонение.

Размеры t (не менее 1,96 при большом числе наблюдений) исследователь определяет произвольно в соответствии с таблицей 6.1.

Таблица 6.1 – Соотношения между доверительным коэффициентом, доверительной вероятностью и уровнем значимости

Доверительный коэффициент, t | Доверительная вероятность 1—p (в %) | Уровень значимости p ( в%)
1,0 | 0,683(68,3) | 0,317(31,7)
1,96 | 0,950(95,0) | 0,050(5,0)
2,0 | 0,955(95,5) | 0,045(4,5)
2,6 | 0,990(99,0) | 0,010(1,0)
3,0 | 0,997(99,7) | 0,003(0,3)
3,3 | 0,999(99,9) | 0,001(0,1)

Значение m (допускаемой ошибки отклонения от генеральной средней) исследователь также определяет произвольно. При исследовании явлений, подчиняющихся закону нормального распределения, значение средней ошибки средней арифметической величины определяется по формуле

(6.2)

По размерам средней ошибки исследователь может определить, насколько найденная в опыте выборочная средняя величина отличается от средней генеральной совокупности. Малая ошибка указывает на близость этих показателей, большая ошибка такой уверенности не дает. Из формулы видно, что размер средней ошибки прямо пропорционален среднему квадратическому отклонению, т. е. вариабельности явления, и обратно пропорционален корню квадратному из числа наблюдений.

Величина s может быть определена на небольшом числе предварительных наблюдений.

### 6.4 Методика составления вариационного ряда

вариационный ряд представляет ранжированную совокупность исходных данных (данные расположены в порядке убывания или возрастания числовых значений исследуемого признака).

Различают следующие виды вариационного ряда:

– простой вариационный ряд

– вариационный ряд с повторениями

– интервальный вариационный ряд.

простой вариационный ряд. Составляется при небольшом числе наблюдений (n) путем ранжирования вариант, т. е. расположения в порядке возрастания их значений. Например, при измерении размеров вируса орнитоза получены следующие величины (в мкм): 0,34; 0,45; 0,20; 0.29; 0,40. Эти варианты нужно записать в такой последовательности: 0,20; 0,29; 0,34; 0,40; 0,45.

вариационный ряд с повторениями. Составляется в случае, когда среди числовых данных есть одинаковые значения. В этом случае для построения вариационного ряда необходимо выписать все значения вариант в порядке возрастания, а затем подсчитать число повторений (частоту – f) каждой варианты и записать их рядом с соответствующими значениями вариант. Например, исследователем произведено 47 измерений мембранного потенциала мышечной клетки в покое (с точностью до 1 мВ). Составленный вариационный ряд показан в таблице 6.2.

Таким образом, главными составными элементами вариационного ряда являются:

x – варианты - значения варьирующего признака;

f – частоты - число повторений каждой варианты;

n – общее число наблюдений (n равно сумме частот, т. е.).

Последовательное суммирование частот образует так называемые накопленные частоты. Последняя накопленная частота представляет собой общее число наблюдений.

Таблица 6.2 – Результаты измерения потенциала мышечной клетки

##### Варианта х

Частота f

##### Накопленные частоты

33 | 1 | 1
34 | 2 | 3
35 | 4 | 7
36 | 5 | 12
37 | 8 | 20
38 | 10 | 30
39 | 7 | 37
40 | 6 | 43
41 | 3 | 46
42 | 1 | 47
| n=47 |

Интервальный вариационный ряд. составляется в тех случаях, когда исследователь имеет дело с большим разнообразием значений вариант (более 20). Интервалы в таком вариационном ряду целесообразно иметь одинаковыми, т. е. они должны объединять равное число значений вариант (таблица 6.3). Интервальные вариационные ряды строятся при изучении как дискретных величин (признаков, выражаемых только целым числом, например число посещений, операций, число эритроцитов, частота пульса и т. д.) так и при исследовании непрерывных величин (признаков, регистрируемых дробными числами, например, рост, вес, биохимические показатели т. п.).

Таблица 6.3 – Интервальный вариационный ряд

Содержание цинка в сыворотке крови в физиологических условиях (мкг %) | Частота, f | Середина интервала, х
75-84 | 2 | 80
85-94 | 5 | 90
95-104 | 7 | 100
105-114 | 15 | 110
115-124 | 35 | 120
125-134 | 17 | 130
135-144 | 11 | 140
145-154 | 3 | 150
155-164 | 1 | 160
Всего | N=96 |

В интервальных вариационных рядах в качестве вариант x используют значения середин интервалов. Середину интервала при изучении непрерывных величин можно определить как среднюю арифметическую величину начальных значений двух соседних интервалов. В дискретных рядах середина интервала вычисляется как средняя арифметическая величина начального и конечного значений данного интервала.

Для графического изображения вариационного ряда применяют полигоны и гистограммы (рисунок 6.1.). Полигоны используют для изображения рядов дискретных величин, а гистограммы — непрерывных. При построении полигона на оси абсцисс откладывают значения вариант или их групп, на оси ординат – частоты. Полученные точки соединяют прямыми линиями. При построении гистограммы на оси абсцисс восстанавливают столбики, по высоте соответствующие частотам взятых интервалов, а вся гистограмма приобретает вид суммы прямоугольников.

Графическое изображение вариационного ряда дает ориентировочное представление о законе, которому подчиняется повторяемость вариант, так называемом законе распределения.

Знание закона распределения варьирующих признаков или достаточно достоверное предположение о нем дают возможность исследователю выбрать наиболее правильный и эффективный метод для статистической характеристики имеющихся наблюдений. Если исследуются непрерывные случайные величины и ряд на графике выглядит одновершинной симметричной кривой, то можно предположить, что изучаемые величины подчиняются нормальному закону распределения (см. рисунок 6.1.).

Рисунок 6.1 - Полигон (1) и гистограмма (2) распределения

6.5 Характеристики вариационного ряда при нормальном законе распределения вариант

Обобщенными характеристиками значений вариант служат средняя арифметическая величина, мода, медиана и квартили. Каждая из этих характеристик своеобразна. Они не могут подменить друг друга и лишь в совокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют особенности вариационного ряда.

Наиболее общей характеристикой всех значений вариант является средняя арифметическая величина. Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Средняя арифметическая простая вычисляется по формуле:

| (6.3)

В вариационных рядах, где отдельные варианты встречаются с разной частотой (т.е. имеют разный вес) определяется средняя арифметическая взвешенная по формуле:

| (6.4)

Как видно из формулы, на величине средней арифметической сказывается влияние всех вариант входящих в вариационный ряд, причем это влияние прямо пропорционально числу повторений вариант. Взвешенную среднюю арифметическую величину необходимо вычислять во всех случаях, когда частоты не одинаковы.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

1) сумма отклонений от средней равна нулю;

2) при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);

3) если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя увеличится (уменьшится) на то же число.

Эти свойства могут быть использованы для облегчения и упрощения расчета средней арифметической величины.

Первое свойство, например, служит обоснованием расчета средней арифметической по способу моментов:

(6.5)

где:

xi – середины интервалов вариационного ряда;

А – условная средняя арифметическая, за которую принимают значение середины интервала, имеющего наибольшую частоту.

Особенно удобно способ моментов использовать при вычислении средней арифметической в интервальном вариационном ряду. Для этого необходимо сначала определить середины интервалов. Величину одной из середин интервала следует принять за условную среднюю (А), после чего найти отклонения всех других середин интервалов от этой величины хi - А. Полученные разности затем необходимо умножить на соответствующие частоты, произведения суммировать и подставить найденную величину в формулу для вычисления (6.5).

Второе свойство средней арифметической полезно применить при анализе вариационного ряда, состоящего либо из очень больших, либо из очень малых величин. Имеются, например, варианты: 0,0001; 0,0002; 0,0003. Используя это свойство, увеличим их в 10000 раз, получим величины 1, 2, 3. Средняя арифметическая из них равна 2, а искомая средняя арифметическая в 10000 меньше, т. е. 0,0002.

Модой (Мо) называют значение наиболее часто встречающейся варианты. В примере в таблице 6.2 это варианта 38 мВ. В интервальном вариационном ряду мода находится как середина того интервала, которому соответствует наибольшая частота.

Более точно мода определяется по формуле:

(6.6)

где:

– начальное значение интервала, содержащего моду;

D – ширина интервала;

– частота вариант в интервале, содержащем моду;

и – частоты вариант в соседних интервалах.

Как указывалось выше, кривая нормального распределения симметричная и одновершинная. Следовательно, в таком вариационном ряду может быть только одна мода. Если при анализе явления, которое предположительно подчиняется закону нормального распределения, получена, например, несимметричная, двухвершинная (бимодальная) кривая, то следует еще раз проанализировать состав исследуемой группы и, исключив искажающие наблюдения, сделать группу однородной.

Медиана (Me) — значение варианты, делящей вариационный ряд пополам (с каждой стороны от медианы находится половина вариант).

Квартили (верхний – Qв и нижний – Qн) — значения вариант, делящих вариационный ряд (вместе с Me) на 4 части. Между Qн и Qв находится половина всех вариант. Порядковый номер варианты, являющейся медианой или квартилем, определяется по формулам:

Qн: (n+1) / 4; Me: (n+1) / 2; Qв: 3∙(n+1) / 4; (6.7)

В случае получения дробного значения порядкового номера его округляют до ближайшего целого числа.

Более точный расчет медианы в интервальном вариационном ряду следует производить по формуле:

, (6.8)

где XMe – начальное значение интервала, содержащего медиану;

D – ширина интервала;

SMe-1 – накопленная частота до интервала, содержащего медиану;

fMe – частота вариант в интервале, содержащем медиану.

Размеры Мо и Me не зависят от значений крайних вариант. В симметричном вариационном ряду они равны между собой и совпадают со значением средней арифметической. Мода особенно важна для характеристики несимметричного ряда. Медианой и квартилями обязательно нужно пользоваться при обработке ряда с открытыми крайними интервалами.

После определения обобщенных характеристик вариационного ряда следует установить его колеблемость, т.е. размеры варьирования значений изучаемого признака. Приближенно о колеблемости можно судить по амплитуде (размаху) вариационного ряда - разности максимальной и минимальной вариант. Более точно колеблемость ряда характеризует среднее квадратическое отклонение (s), вычисляемое по формуле:

(6.9)

Квадрат среднего квадратического отклонения (s2) называется дисперсией.

Небольшая величина среднего квадратического отклонения свидетельствует об однородности исследуемой группы наблюдений. Среднюю арифметическую в таком случае следует признать вполне характерной, типичной для данного вариационного ряда. Однако слишком малая величина s заставляет думать об искусственном подборе наблюдений. При очень большой s средняя арифметическая в меньшей степени характеризует весь вариационный ряд, что говорит о значительной вариабельности явления или неоднородности исследуемой группы.

Оценка степени рассеяния вариант около средней может быть произведена с помощью коэффициента вариации, вычисляемого по формуле:

(6.10)

Значения коэффициента вариации менее 10% свидетельствуют о малом рассеянии, от 10 до 20% – о среднем и более 20% – о сильном рассеянии вариант вокруг средней арифметической.

Согласно теории вероятностей в явлениях, подчиняющихся нормальному закону распределения, между значениями средней арифметической, среднего квадратического отклонения и вариантами существует строгая зависимость. Например, 68,3% значений варьирующего признака находятся в пределах ; 95,5%—в пределах и 99,7%—в пределах . Эти соотношения показаны на рисунке. 6.2. Указанные взаимоотношения средней арифметической, среднего квадратического отклонения и отдельных вариант иногда называют правилом трех сигм. С помощью этого правила, зная и s (и предполагая нормальным изучаемое распределение), можно получить представление о вероятных размерах варьирующего признака.

Рисунок 6.2 – Кривая нормального распределения

Правило трех сигм можно использовать при решении ряда практических задач:

1. Знание значений и s дает исследователю возможность определить границы средних (нормальных) значений признака. Нормальными обычно рекомендуется считать значения в пределах . Иногда пределы нормы определяют с использованием 0,5s; 1,34s и т.п. Решать этот вопрос должен специалист, знающий существо исследуемого явления.

2. Нормированное отклонение , позволяет также решить, относится ли данное наблюдение к интересующей нас совокупности. Ответ будет положительным всегда, когда t < 3.

Пусть нам известно, что средняя арифметическая пульса у больных абсцессом мозга равна 50, а s=±6,5 удара. Требуется определить, может ли относиться больной с частотой пульса х=65 к данной группе больных? Пульс 65 находится в пределах 2,3s от = 50, и, следовательно, в рассматриваемом случае ответ должен быть положительным.

3. В некоторых случаях возникает необходимость исключить из наблюдений варианту, почему-то резко отличающуюся от всех остальных («выскакивающую» варианту – хв). Это стремление продиктовано нежеланием получить искаженное представление о средней арифметической. Право исключить эту варианту возникает тогда, когда , причем и s рассчитываются без выскакивающей варианты хв.

Описывая, например, небольшую группу больных скарлатиной, врач считал нужным указать средний возраст. Данные больных о возрасте следующие: 1, 3, 3, 5, 7, 11, 12, 32. Средняя арифметическая равна 9 годам. На ее размере, несомненно, сказалось влияние максимальной варианты —32 года. Определение средней арифметической без этой варианты дало новую величину

; среднее квадратическое отклонение для нее ±4 года. Подставляем найденные величины в вышеуказанное соотношение:

, следовательно, варианта 32 года выходит за пределы 3s. В характеристике среднего возраста больных ею можно пренебречь. При оценке «выскакивающей» варианты можно пользоваться и специальными таблицами.

4. Правило трех сигм используется также для построения теоретического ряда, отвечающего нормальному распределению. Такой ряд, сопоставленный с фактическим, может служить критерием нормальности распределения фактических данных. Построение теоретического ряда, отвечающего нормальному распределению при заданных параметрах х, п и s производится следующим образом:

а) в таблицу вписываются полученные в опыте значения вариант, середины интервалов и соответствующие им частоты;

б) определяются нормированные отклонения каждой середины интервала;

в) по величине нормированного отклонения находятся значения функции нормированного отклонения f(x) по справочным таблицам;

г) по формуле определить теоретические частоты для каждой середины интервала.

Схема необходимых расчетов приведена в табл. 1.12.

Таблица 6.4 – Расчет теоретических частот, отвечающих нормальному распределению

Содержание цинка в сыворотке крови в физиологических условиях (мкг %) | Частота, f | Середина интервала, х | Нормированное отклонение значений середины интервала, t= | Функция нормированного отклонения, f(x) | Теоретическая частота, f1 f1=
75-84 | 2 | 80 |  | 0,0132 | 0,8
85-94 | 5 | 90 |  | 0,0584 | 3,7
95-104 | 7 | 100 |  | 0,1691 | 10,6
105-114 | 15 | 110 |  | 0,3230 | 20,4
115-124 | 35 | 120 |  | 0,3989 | 25
125-134 | 17 | 130 |  | 0,3230 | 20,4
135-144 | 11 | 140 |  | 0,1691 | 10,6
145-154 | 3 | 150 |  | 0,0584 | 3,7
155-164 | 1 | 160 |  | 0,0132 | 0,8
Всего | N=96; Δх=10 =120; σ=15,3 |  |  |

6.6 Точечная оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Характеристики нормального закона распределения М(Х), D(X) и а(Х) для генеральной совокупности представляют собой постоянные величины или параметры. По отношению к ним соответствующие выборочные характеристики , S2 и S — являются оценками генеральных параметров, т.е. приближенными значениями параметров генеральной совокупности.

Оценкой параметра генеральной совокупности называют всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра.

Оценки подразделяются на точечные и интервальные. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Основными свойствами оценок являются: несмещенность, эффективность и состоятельность.

Точечную оценку х* параметра х называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру х, т.е. М(х*) = х .

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке параметров.

Так как оценка х* — случайная величина, значение которой изменяется от выборки к выборке, то величину ее отклонения от истинного значения параметров х можно охарактеризовать дисперсией D(х*).

Несмещенную оценку х*, которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра х, вычисленных по выборкам одного и того же объема, называют эффективной оценкой.

Оценку х* параметра х называют состоятельной, если при увеличении числа независимых наблюдений (п → ∞) с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между х* и х по абсолютной величине меньше сколь угодно малого положительного числа έ.

Рассмотрим, какие выборочные характеристики лучше всего оценивают математическое ожидание и дисперсию.

Если из генеральной совокупности взять к независимых выборок одинакового объема, то вычисленные по этим данным выборочные средние 1 ; 2;... к будут распределены по нормальному закону, а их математическое ожидание будет равно математическому ожиданию генеральной совокупности: М() = М(Х).

Таким образом, выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. При увеличении объема выборки (п → ∞) значение выборочного среднего стремится к параметру генеральной совокупности с вероятностью, близкой к единице, т.е. данная оценка является состоятельной. Касаясь эффективности оценки, приведем без доказательства важный для практики вывод. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то несмещенная оценка математического ожидания имеет минимальную дисперсию, равную: D () = .

Таким образом, оценкой математического ожидания служит выборочная средняя.

Точечной оцекой дисперсии генеральной совокупности является выборочная дисперсия:

| (6.11)

где п — объем выборки.

Данная оценка дисперсии является смещенной.

Для получения несмещенной точечной оценки дисперсии генеральной совокупности необходимо использовать формулу:

| (6.12)

Эту оценку называют исправленной выборочной дисперсией. Однако эта поправка существенна при малых значениях п, при п > 50 практически нет разницы между оценками S2 и Sв2. Можно показать, что оценки S2 и Sв2 являются состоятельными оценками D(X).

Выборочной оценкой среднего квадратического отклонения будет:

| (6.13)

С учетом полученной оценки генеральной дисперсии, выражение для дисперсии выборочной средней равно:

| (6.14)

Тогда ошибка выборочной средней равна:

| (6.15)

6.7. Интервальная оценка. Доверительный интервал и доверительная вероятность

В некоторых случаях представляет интерес не получение точечной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности, а определение некоторого интервала, в котором может находиться этот параметр с заданной вероятностью. Интервальное оценивание более эффективно при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надежна.

Доверительным интервалом (а, b) для параметра θ называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью Р, близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра θ.

Доверительный интервал как бы «накрывает» содержащийся в нем неизвестный параметр и гарантирует, с какой вероятностью оцениваемый параметр будет находиться внутри этого интервала (рисунок 6.3)

Рисунок 6.3 – Доверительный интервал для параметра θ

Вероятность, с которой гарантируется попадание параметра генеральной совокупности внутрь доверительного интервала, называется доверительной. Чаще в качестве доверительной вероятности используются следующие уровни вероятности: Р1 = 0,95; Р2 = 0,99 и Р3 = 0,999. Это означает, что параметр генеральной совокупности попадет в указанный интервал: в первом случае — в 95 случаях из 100, во втором — в 99 случаях из 100, а в третьем — в 999 случаях из 1000.

Иногда указывается не доверительная вероятность, а вероятность обратных случаев, когда параметр не попадает в указанный интервал. Вероятность таких маловероятных случаев называется уровнем значимости α и равна а = 1 – P.

Для нормального закона распределения, зная величину выборочной средней и ее ошибку, можно определить границы, в которых с той или иной вероятностью находится параметр генеральной совокупности – математическое ожидание. Эти границы называются доверительными и определяются по формуле:

| (6.16)

или

| (6.17)

где ta,f — величина нормированного отклонения, определяемая по таблицам распределения Стьюдента. Величина ta,f определяется вероятностью попадания генерального параметра в указанный интервал и числом степеней свободы f = п - 1, где п — объем выборки.

Так, при п = 30, f = 30 - 1 = 29 для Р= 0,95, t0.05, 29 = 2,05; для Р = 0,99, t0.01,29 = 2,76; для Р = 0,999, t0.001,29 = 3,66.

Из приведенных данных видно, что с увеличением доверительной вероятности границы интервала раздвигаются, т.е. увеличивается надежность попадания параметра в указанный интервал, но уменьшается точность его определения. И, наоборот, чем меньше вероятность, тем точнее оценка, однако увеличивается возможность промаха. С увеличением объема выборки п длина интервала уменьшается. Поэтому для сохранения высокой доверительной вероятности и повышения точности доверительной оценки необходимо увеличить объем выборки.

Обычно при определении доверительного интервала исходят из заданной величины. Если задан объем выборки, то подбирают соответствующую доверительную вероятность, и, наоборот, если задана доверительная вероятность, то определяют необходимый объем выборки.