Тема №12

12 АНАЛИЗ СВЯЗИ ДВУХ ПРИЗНАКОВ

Одной из важных задач исследовательской работы является выявление и измерение связи между признаками, характеризующими изучаемые явления или процессы. Различают функциональную и корреляционную связи.

При наличии функциональной связи изменение величины одного признака неизбежно вызывает совершенно определенные изменения величины другого признака. Примером такой связи может служить зависимость площади круга от его радиуса. Функциональная связь между явлениями присуща неживой природе.

В биологических науках чаще приходится иметь дело с иной связью между явлениями, когда одной и той же величине одного признака соответствует ряд варьирующих значений другого признака, что обусловлено чрезвычайным многообразием взаимодействия различных явлений живой природы. Такого рода связь носит название корреляционной (correlation—соответствие, соотносительность). В то время как функциональная связь имеет место в каждом отдельном наблюдении, корреляционная связь проявляется только при многочисленном сопоставлении признаков.

Задача: изучить взаимосвязь (установить наличие и силу связи) признаков следующих типов:

1) двух количественных признаков;

2) количественного и качественного порядкового признаков;

3) двух качественных порядковых;

В статистике принято называть взаимосвязи признаков, упомянутых в пп. 1—2, корреляциями, а взаимосвязь признаков, упомянутых в пункте 3 — ассоциацией.

Пример 1: изучить взаимосвязь концентрации холестерина в плазме крови и деформируемости эритроцитов.

Решение: анализ корреляций.

Корреляция — это описание взаимосвязи количественных или порядковых признаков. Мера (коэффициент) корреляции показывает, в какой степени изменение значения одного признака сопровождается изменением значения другого признака в данной выборке, т.е. в определенных интервалах значений каждого из признаков.

Рассмотрим, например, связь между возрастом детей-дошкольников и их ростом (табл. 12.1). Из приведенных данных видно, что с возрастом рост детей увеличивается, и поэтому можно предположить наличие связи между указанными признаками.

Вместе с тем следует отметить, что одному и тому же возрасту соответствует различный рост детей. Это происходит потому, что рост детей определяется не только возрастом: на него влияют многие другие факторы, в том числе условия жизни, питание, занятия физкультурой и др. Таким образом, можно прийти к выводу, что связь между возрастом и ростом детей является корреляционной.

Таблица 12.1 - Рост детей-дошкольников разного возраста

### 12.1 Способы выявления корреляционной связи

Наиболее простым способом выявления корреляционной связи является графический.

Например, в эксперименте на 13 кошках получены следующие данные об интрасклеральном и внутриглазном давлении. Уровень интрасклерального давления (х)—19,8 7,8 12,7 13,4 10,3 13,7 16,2 15,4 21,5 8,1 11,7 7,6 6,1. Уровень внутриглазного давления (у)— 32,5 16,1 21,3 26,8 23,4 19,7 22,9 22,2 22,6 17,6 14,3 18,6 21,4. Необходимо установить, имеется ли корреляционная связь между этими признаками.

На листе бумаги начертим под прямым углом две оси координат, из которых одна - ось абсцисс - будет соответствовать интрасклеральному давлению (x), а другая - ось ординат - внутриглазному давлению (у). Тогда каждой паре значащий х и у на диаграмме будет соответствовать определенная точка (рис. 12.1).

Полученное на диаграмме скопление точек может быть очерчено эллипсоидальной замкнутой кривой, длинная ось которой образует острый угол с осью абсцисс (x). При этом наглядно видны взаимоотношения между сопоставляемыми признаками. Преобладающая часть точек располагается вблизи длинной оси эллипса, так как большим значениям признака (у) обычно соответствуют большие значения признака (x), и наоборот, меньшие - меньшим. Такого рода график носит название графика корреляционного поля. Вытянутый характер кривой, охватывающей точки корреляционного поля, и угол с осями графика, близкий к 45°, указывает на наличие корреляционной связи между интрасклеральным и внутриглазным давлением. В том случае, если в результате построения графика окажется, что длинная ось эллипса параллельна одной из осей координат или скопление точек образует круг, то можно полагать, что между исследуемыми признаками связь отсутствует. В ряде случаев корреляционное поле может принимать дугообразную форму и тем самым свидетельствовать о возможности криволинейной связи между признаками.

При наличии большого числа измерений (несколько десятков и более) для выявления связи между двумя признака ми целесообразно данные сгруппировать и занести в специальную таблицу, которую иногда называют корреляционной решеткой. Допустим, что для изучения физического развития у 100 школьников были измерены рост и вес. Для того, чтобы на основании этих данных построить корреляционную таблицу, сгруппируем данные о росте ребят (х) и запишем их в заголовок горизонтальных строк таблицы, а группировку веса - в заголовок вертикальных столбцов (граф). Затем в каждую клетку на пересечении строк и столбцов запишем число детей, имевших соответствующие величины роста и веса. Например, в клетке на пересечении строки 117,5 - 122,4 см и столбца 22,5—25,4 кг в табл. 12.2 указаны два школьника, имевших рост и вес в этих пределах. Итоговые строка и столбец покажут распределение обследованных по каждому из признаков отдельно.

Рисунок 12.1 – Корреляционное поле

По характеру расположения данных, сконцентрированных по диагонали таблицы, можно предположить наличие корреляции между ростом и весом детей.

Таблица 12.2 - Распределение школьников по росту и весу

Рост в см. (х) | Вес в кг (y) | Итого
22,5-25,5 | 25,5-28,4 | 28,5-31,4 | 31,5-34,4 | 34,5-37,4

117,5-122,4

122,5-127,4

127,5-132,4

132,5-137,4

137,5-142,4

142,5-147,4

147,5-152,4

2

-

-

-

-

-

-

6

4

2

2

-

-

-

-

12

10

12

2

-

-

-

2

10

14

8

2

-

-

-

-

4

4

2

2

8

18

22

32

14

4

2

Всего | 2 | 14 | 36 | 36 | 12 | 100

### 12.2 Виды и теснота корреляционной связи

Корреляционная связь может быть прямолинейной (линейной) и криволинейной. При прямолинейной корреляции изменение значений одного признака сопровождается равнонаправленным (в сторону увеличения или уменьшения) изменением значений другого признака. Если же изменение одного признака приводит к неодинаковым изменениям другого, например, вначале к увеличению, а затем — к уменьшению величин зависимого признака, то такая связь носит название криволинейной. По форме линейная связь между явлениями может быть прямой (положительной), когда с увеличением значений одного признака увеличиваются значения другого, и обратной (отрицательной), когда с увеличением значений одного признака значения другого уменьшаются. Для измерения и оценки связи при прямолинейной корреляции применяется коэффициент корреляции (r), при криволинейной корреляции - корреляционное отношение (h).

Степень связи между явлениями, ее теснота определяется величиной коэффициента корреляции, который колеблется в пределах от 0 до ±1. При r = 0 связь отсутствует, при r = ±1 — связь полная, функциональная (табл. 12.3).

Таблица 12.3 - Схема оценки тесноты корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Теснота связи | Величина коэффициента корреляции при наличии
Прямой связи (+) | Обратной связи (-)
Связь отсутствует Связь слабая Связь умеренная Связь сильная Связь полная (функциональная) | 0 От 0 до +0,25 От +0,26 до +0,75 От +0,76 до +1 +1.0 | 0 От 0 до -0,25 От -0,26 до -0,75 От -0,76 до -1 -1.0

### 12.3 Определение коэффициента корреляции

При линейной зависимости между признаками коэффициент корреляции целесообразно рассчитывать, пользуясь следующими формулами:

(12.1)

где rxy — коэффициент линейной корреляции;

х и у — коррелируемые (сопоставляемые) величины;

и — средние арифметические ряда х и ряда у;

sx, sy — средние квадратическое отклонения сопоставляемых рядов;

n — число сравниваемых пар.

Один и тот же коэффициент корреляции, полученный в малой или большой выборке, может интерпретироваться совершенно по-разному в зависимости от контекста исследования. Так, малое значение коэффициента корреляции, полученное в эпидемиологическом исследовании, может быть весьма эпидемиологически значимо, а такое же значение коэффициента корреляции в клиническом исследовании может оказаться клинически незначимым.

Одним из подходов к интерпретации корреляции является вычисление доли объясняемой дисперсии, т.е. доли вариабельности одного признака, зависящего от вариабельности второго признака. Эта мера вычисляется по формуле: r2х100(%).

Например, для коэффициента корреляции r=0,5 доля объясняемой дисперсии равна 100х0,52=25%.

Существование и сила предполагаемой корреляции между признаками могут быть установлены путем проверки нулевой статистической гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции (т.е. об отсутствии связи признаков). Альтернативная гипотеза – коэффициент корреляции отличен от нуля.

При анализе взаимосвязи качественных (порядковых) признаков корректнее использовать термин "ассоциация" вместо термина "корреляция".

Помимо парной корреляции в статистике известна и так называемая частная, или парциальная, корреляция. Парциальный коэффициент корреляции отражает силу корреляции между двумя признаками при постоянных значениях всех остальных признаков. Несомненный интерес представляет сравнение между собой по величине и знаку парных и парциальных коэффициентов корреляции для одной и той же пары признаков.

Следует особо подчеркнуть, что наличие корреляции двух признаков (любой силы) не может интерпретироваться как доказательство причинно-следственной связи этих признаков. В случае обнаружения корреляции возможны следующие варианты:

— признак 1 влияет на признак 2;

— признак 2 влияет на признак 1;

— оба признака находятся под влиянием третьих факторов.

Судить о том, который из вариантов в действительности имеет место, корреляционный анализ не позволяет; он устанавливает наличие и силу лишь статистической связи. Поэтому клиническая интерпретация корреляции весьма трудна.

Отсутствие линейной корреляции не означает, что анализируемые признаки независимы, так как их зависимость может быть нелинейной.

Анализ взаимосвязей (в том числе анализ корреляций) признаков предполагает, что для каждого наблюдения существует измеренное значение каждого из признаков. Наблюдения, для которых информация по какому-либо признаку отсутствует, исключаются из анализа.

Наиболее часто используемыми методами исследования корреляции признаков являются следующие:

1) параметрический корреляционный анализ Пирсона — для исследования взаимосвязи нормально распределенных количественных признаков. Полученные пирсоновские коэффициенты корреляции можно затем сравнить с использованием специального метода;

2) непараметрические методы корреляционного анализа Спирмена, Кендалла, гамма — для исследования взаимосвязи:

— количественных признаков независимо от вида их распределения;

— количественного и качественного порядкового признака;

— двух порядковых признаков.

Пример 2: изучить взаимосвязь степени тяжести заболевания с полом.

Решение: необходимо провести анализ ассоциаций.

Ассоциация — это описание взаимосвязи качественных признаков. Мера ассоциации между качественными признаками является количественным индикатором силы этой связи.

Наличие ассоциации, так же как и наличие корреляции, не является доказательством причинно-следственной связи признаков. Даже сильно ассоциированные признаки могут в действительности зависеть от какого-либо третьего признака.

Анализ ассоциации двух качественных признаков сводится к описанному ранее методу проверки гипотез о независимости признаков. После построения таблицы сопряженности, т.е. таблицы, в ячейках которой располагаются абсолютные частоты объектов исследования, ее анализируют и вычисляют меры ассоциации (сопряженности). К таким мерам, в частности, относятся и коэффициенты ранговой корреляции. Их вычисление можно проводить в том же модуле, где и строилась таблица сопряженности

12.4 Параметрический метод (метод Пирсона)

Задача: исследовать линейную связь двух количественных признаков, каждый из которых является нормально распределенным.

Пример: анализ связи уровня холестерина в крови и возраста.

Решение: для анализа взаимосвязи количественных нормально распределенных признаков используется параметрический корреляционный метод Пирсона. С помощью данного метода проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии связи признаков, т.е. о том, что коэффициент корреляции равен нулю. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о том, что коэффициент корреляции не равен нулю.

Важное замечание. Перед проведением данного анализа необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения обоих признаков в конкретной исследуемой группе наблюдений. Только в случае принятия гипотезы о нормальности распределения для каждого из этих двух признаков можно применять метод анализа корреляций по Пирсону.

До вычисления коэффициента корреляции рекомендуется построить график с распределением объектов исследования в координатах двух исследуемых признаков с тем, чтобы визуально оценить линейность (либо криволинейность) исследуемой зависимости. Весьма важно оценку коэффициентов корреляции производить только в однородных группах.

Нередко вычисленный по всему массиву данных коэффициент корреляции оказывается статистически незначим, т.е. следует сделать вывод, что корреляция отсутствует. Однако при выполнении этой процедуры в отдельных подгруппах (подобранных по полу, по диагнозу, по стадиям заболевания и т.п.) обнаруживается статистически значимая сильная корреляция. В силу того, что в разных подгруппах корреляция может иметь разную направленность (положительную и отрицательную), в общем массиве данных эти корреляции взаимно "гасятся". Заметим, однако, что при проведении корреляционного анализа в подгруппах часто возникает так называемая проблема множественных сравнений, чреватая возникновением ложноположительных результатов, т.е. завышением статистической значимости рассчитанных коэффициентов корреляции.

Интерпретация результатов. При анализе связи признаков проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии линейной связи признаков (т.е. r =0), и вычисляется значение р:

— если р>0,05 (или другого принятого уровня значимости), то независимо от значения коэффициента корреляции r нулевая гипотеза о том, что его значение равно нулю, не отклоняется;

— при р<0,05 нулевая гипотеза отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза о том, что значение коэффициента корреляции r не равно нулю. В этом случае его значение можно подвергнуть интерпретации.

Если коэффициент корреляции оказался статистически значимым и, кроме того, свидетельствующим о сильной корреляции, то имеются основания попробовать интерпретировать стоящие за ней биологические закономерности. Подчеркнем еще раз, что наличие корреляции между двумя признаками вовсе не означает обязательного наличия прямой причинно-следственной связи между ними. Вполне возможно, что согласованные изменения обоих признаков есть следствие вариации некоторого третьего признака.

Рекомендуемое представление результатов:

— привести значение коэффициента корреляции r (с точностью до двух значащих цифр);

— указать название примененного метода корреляционного анализа;

— привести точное значение р;

— указать число анализируемых пар признаков (для каждой пары признаков это могут быть разные числа, желательно привести их все);

— привести 95% ДИ для наиболее важных коэффициентов корреляции с целью интерпретации биологической или клинической значимости связи;

— для наиболее важных результатов для наглядности желательно представить график рассеяния объектов исследования в координатах, соответствующих двум исследуемым признакам. Чем сильнее связь, тем более вытянута область наблюдений вдоль линии тренда (рисунок 12.1);

— если изучались связи нескольких признаков, удобно представить результаты в виде корреляционной матрицы с обязательным указанием значений р.

12.5 Непараметрические методы

Задача: исследовать связь двух признаков в любом из следующих случаев:

— анализируются два количественных признака, и нет сведений о виде их распределений;

— ранее установлено, что, по крайней мере, одно из распределений анализируемых количественных признаков не является нормальным;

— анализируются количественный и качественный порядковый признаки;

— анализируются два качественных порядковых признака.

Пример: анализ связи концентрации холестерина в плазме крови и степени атеросклероза сонных артерий.

Решение: для анализа данных такого типа необходимо применять метод непараметрического корреляционного анализа. В статистических пакетах представлены следующие непараметрические методы корреляционного анализа:

— ранговая корреляция по Спирмену (ρ); метод рекомендуется использовать для оценки взаимосвязи количественных (независимо от вида распределения) и/или порядковых признаков;

— ранговая корреляция по Кендаллу (τ); метод рекомендуется использовать для оценки взаимосвязи двух порядковых признаков или порядкового и количественного признаков;

— гамма-корреляция; рекомендуется использовать, когда в данных имеется много совпадающих значений.

С помощью этих методов проверяют нулевую статистическую гипотезу об отсутствии связи признаков, т.е. о том, что коэффициент корреляции равен нулю. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о том, что коэффициент корреляции не равен нулю.

После выполнения анализа по указанным признакам на экран выводится таблица, содержащая число пар анализируемых признаков, значения коэффициента корреляции, значения р.

Интерпретация результатов анализа и рекомендуемое их представление аналогичны таковым для пирсоновской корреляции.

12.6 Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Не приводя математического обоснования расчетов, опишем способ построения ДИ для коэффициента корреляции. Данный способ может применяться для расчета ДИ как для пирсоновского коэффициента корреляции, так и для коэффициентов корреляции, рассчитанных непараметрическими методами в тех случаях, если объем выборки превышает 10.

1, Вычисляется значение функции z

2. Вычисляется стандартная ошибка тz для z

где п — число объектов исследования, для которых рассчитывался r.

3. Вычисляются нижняя граница z1 и верхняя граница z2 ДИ для величины с

где t — значение t-критерия для данного числа степеней свободы df=n-1 и заданного уровня значимости. Точное значение t можно узнать, воспользовавшись справочными таблицами.

4. Вычисляются нижняя и верхняя границы ДИ для коэффициента корреляции г.

Интерпретация ДИ для коэффициента корреляции. Можно считать с вероятностью, соответствующей доверительному коэффициенту (с вероятностью 95% при построении 95% ДИ), что истинное значение коэффициента корреляции находится в рассчитанных границах.

12.7 Сравнение двух коэффициентов корреляции

Весьма полезно производить проверку статистических гипотез о равенстве коэффициентов корреляции (одного знака), полученных в разных группах объектов исследования. Особенно важно сравнивать их между группами "больных" и "здоровых".

Задача: сравнить два коэффициента корреляции, т.е. установить, случайны ли их различия.

Пример: в одной группе наблюдений (больные с ишемическим инсультом) коэффициент корреляции тяжести инсульта и уровня артериального давления составил 0,45 (р=0,011), в другой группе наблюдений (больные с геморрагическим инсультом) коэффициент корреляции оказался равным 0,56 (р=0,023). Требуется установить, случайны ли различия между двумя коэффициентами корреляции.

Решение: могут использоваться два подхода:

1) вычисление ДИ для каждого из коэффициентов корреляции и последующее их сравнение. Если ДИ пересекаются, то коэффициенты корреляции статистически значимо не различаются (их различие носит случайный характер);

2) проверка гипотезы о равенстве коэффициентов корреляции. При применении статистического теста происходит проверка нулевой статистической гипотезы об отсутствии различий между коэффициентами корреляции. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий между коэффициентами корреляции.

При проверке гипотезы об отсутствии различий между указанными коэффициентами корреляции будет вычислено значение р.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

—Если р>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий между коэффициентами корреляции не отклоняется.

— Если р<0,05 (или другого принятого уровня значимости), то нулевая гипотеза отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза о том, что коэффициенты корреляции различны.

Рекомендуемое представление результатов:

— привести значения коэффициентов корреляции;

— привести объемы выборок, на которых эти значения получены (для каждой пары признаков это могут быть разные количества пар);

— указать точное значение р, полученное при сравнении коэффициентов корреляции.