Тема №9

9 ОПИСАНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

Для описания количественных признаков используют так называемые описательные статистики, т.е. параметры распределения. Если исследование проведено с использованием малой выборки, то о таком случае необходимо приводить в тексте статьи или отчета таблицу данных. При этом зачастую отсутствует необходимость в описательной статистике.

Для того чтобы выбрать способ описания количественного признака, следует сначала установить, соответствует ли вид распределения значений изучаемого признака закону нормального распределения.

9.1 Анализ соответствия вида распределения признака закону нормального распределения

Первым этапом анализа количественных данных является анализ вида их распределения. Реально ни в одной выборке не может быть строго нормального распределения признака. Однако необходимо установить, отобрана ли эта выборка из генеральной совокупности, в которой изучаемый признак имеет нормальное распределение. Для простоты мы далее будем считать, что вид распределения признака в генеральной совокупности установлен по выборке.

Существуют несколько способов решения этой задачи.

Первый способ. Построить гистограмму распределения признака. После этого можно визуально оценить, насколько диаграмма близка к колоколу нормального распределения, прорисованному красной линией.

Второй способ. Можно построить график функции распределения в специальных координатах. После этого можно также визуально оценить, насколько близко к прямой лежат точки, отражающие отдельные объекты исследования.

Третий способ. Одним из количественных способов является оценка симметричности распределения признаков, имеющих только положительные значения. Если S<М/2 (среднее квадратическое отклонение меньше половины среднего арифметического), то распределение можно считать симметричным (симметричность – одна из основных характеристик нормального распределения).

Однако третий способ не позволяет оценить эксцесс — степень крутизны графика, или ого плосковершинность.

Четвертый способ. Для получения надежной оценки соответствия изучаемого распределения признака закону нормального распределения следует проверкой статистических гипотез о виде распределения, т.е. о том, извлечена ли выборка из генеральной совокупности, в которой изучаемый признак имеет нормальное (гауссово) распределение.

По результатам анализа можно принять одну из гипотез:

· нулевую гипотезу (о том, что распределение исследуемого признака в генеральной совокупности соответствует закону нормального распределения);

· альтернативную гипотезу (о том, что распределение исследуемого признака в генеральной совокупности не соответствует закону нормального распределения).

Для принятия решения о виде распределения можно применять следующие критерии:

· Колмогорова—Смирнова. Применяется в тех случаях, когда среднее значение и среднее квадратическое отклонение признака известны априори, а не вычисляются по выборке;

· Лиллиефорса. Применяется в тех случаях, когда среднее значение и среднее квадратическое отклонение признака априори неизвестны и вычисляются по выборке;

· Шапиро—Уилка. Применяется также при исходно неизвестных среднем значении и среднем квадратическом отклонении признака. Данный критерий предпочтителен, так как является наиболее мощным и универсальным и при этом наиболее "строгим" из перечисленных.

Интерпретация результатов. Напомним основные свойства нормального распределения признака:

· нормальное распределение признака симметрично относительно своего среднего значения;

· среднее значение, мода и медиана распределения признака совпадают;

· приблизительно 68% значений признака (объектов исследования) находятся в интервале M±S, 95% — в интервале M±2s, 99% — в интервале M±3s, где М — среднее значение, s — среднее квадратическое отклонение (СКО).

Критерии нормальности проверяют следующую нулевую гипотезу: распределение изучаемого признака не отличается от нормального распределения. Альтернативная гипотеза — распределение изучаемого признака отличается от нормального.

Если полученное значение р для данного статистического критерия (теста) больше критического (принятого исследователем) уровня статистической значимости (например, 0,05), то нулевую гипотезу не отклоняют, т.е. распределение исследуемого признака приближенно можно считать нормальным. Из этого следуют два вывода:

1) для описания распределения этого признака можно использовать такие параметры, как среднее значение и СКО;

2) при сравнении групп по этому признаку мы вправе пользоваться параметрическими методами. В этом случае также можно использовать и непараметрические методы, однако в связи с тем, что они обладают несколько меньшей статистической мощностью (чувствительностью), т.е. реже, чем параметрические методы, обнаруживают существующие различия выборок, предпочтительнее применять параметрические методы.

Если при использовании критериев нормальности p<0,05 (или другой принятой критической величины), то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную, т.е. распределение признака считать отличающимся от нормального. В этом случае сравнение групп по этому признаку должно проводиться с использованием исключительно непараметрических методов.

Замечание 1. Иногда критерии Лиллиефорса и Шапиро—Умка дают разные результаты. В этом случае мы рекомендуем опираться на результат теста Шапиро—Уилка как на более надежный.

Замечание 2. если гипотеза о нормальном распределении отклонена, но известно, что выборка содержит аномальные, или выпадающие, значения признака ("выбросы"), то можно предполагать, что после их удаления повторное применение теста на нормальность даст другой результат.

9.2 Описание количественных данных в зависимости от вида их распределения

При представлении данных в научной статье или отчете обычно следует обобщить наблюдения (объекты исследования) выборки, т.е. привести описательную статистику (параметры распределения) для количественных признаков. Это необходимо для того, чтобы читатель мог составить представление о том, каковы основные характеристики выборки — центральная тенденция, рассеяние по каждому из изучаемых признаков. Без этого читатель не сможет оценить, в какой степени близка изучаемая выборка к его контингенту больных (т.е. насколько обобщаемы результаты исследования). При описании малых выборок (в которых число наблюдений или объектов исследования не больше 20) рекомендуется приводить таблицу с исходными данными, так как для таких выборок методы статистики, в том числе описательной, не всегда адекватны.

При описании больших выборок требуется привести таблицу, в которой описаны центральные тенденции и рассеяние значений количественных признаков в данной выборке, или соответствующий рисунок.

Меры центральной тенденции (меры локализации, меры положения) показывают наиболее типичное значение для данной выборки. К мерам центральной тенденции относятся:

· среднее значение (М) — среднее арифметическое;

· медиана (Me) — значение, справа и слева от которою на оси значений признака располагаются равные количества значений признака данной выборки;

· мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в выборке;

· среднее геометрическое значение — антилогарифм среднего арифметического для логарифмированных данных.

Меры рассеяния показывают разброс значений признака в выборке. К мерам рассеяния относятся:

· размах — разность максимального и минимального значений признака;

· интерпроцентильный размах (интервал) — значения каких-либо процентилей распределения, например 10-го и 90-го;

· интерквартильный размах (интервал) — значения 25-го и 75-го процентилей. Такой интервал независимо от вида распределения включает 50% значений признака в выборке;

· среднее квадратическое (стандартное) отклонение (СКО, s). Показывает разброс данных по интервалу значений признака относительно среднего значения.

Центральные тенденции и рассеяния количественных признаков, имеющих приближенно нормальное распределение (и только таких признаков!), следует описывать средним значением (М) и средним квадратическим отклонением (s) в формате М(s). Широко распространенное представление в виде M±s в настоящее время использовать не рекомендуется.

Центральные тенденции и дисперсии количественных признаков, не имеющих приближенно нормального распределения, следует описывать медианой и интерквартильным размахом (25-й и 75-й процентили) или другим интерпроцентильным размахом (например, 80% интерпроцентильный размах — между 10-й и 90-й процентилями).

Для описания выборочного нормального распределения количественных признаков необходимо указывать как минимум следующие параметры;

· число наблюдений (объектов исследования);

· среднее значение признака;

· среднее квадратическое отклонение.

Для описания выборочного распределения количественных признаков, которое отличается от нормального, рекомендуется указывать:

· число объектов исследования;

· медиану;

· верхний и нижний квартили.

Выявление максимального и минимального значений признака необходимо для контроля за соответствием данных допустимым значениям признака. Эти значения позволяют обнаружить:

· ошибки, возникшие при вводе данных (естественно, ошибки необходимо исправить, а затем выполнить расчеты заново) ;

· выпадающие значения.

Размах представляет собой разность максимального и минимального значений признака. Этот параметр бывает необходим в том случае, если нужно принять решение о возможности рассматривать дискретный признак (число возможных значений которого достаточно велико) приближенно непрерывным. Так, если размах превышает 20, то допустимо приближенно считать такой признак непрерывным. Например, число эритроцитов является по физическому смыслу дискретным признаком, так как при измерениях их числа дробные значения не фиксируются. И даже не фиксируются значения с точностью менее миллиона. Однако поскольку число возможных значений достаточно велико, то такой признак вполне обоснованно можно анализировать как непрерывный.

Результаты, полученные с помощью методов описательной статистики, удобно представлять в виде рисунков — диаграмм размахов и диапазонов. Они удобны для представления как нормальных, так и других распределений признаков. Приведем примеры подобного представления.

На рисунке 9.1 показана диаграмма размахов в виде линейного графика. Нормальные распределения переменных (признаков), таких как в группе А, удобно представлять в виде отрезка [М - s; М + s). Распределения как нормальные, так и отличающиеся от нормальных (группа В), можно представлять в виде интерквартильного интервала между 25-м и 75-м процентилями, включающим 50% значений признака в выборке.

На рисунке 9.2 показан другой способ представления распределений количественных данных — диаграмма диапазонов (так называемый коробочный график) для нормально (группа А) и ненормально (группа В) распределенных переменных (признаков). Такой график наглядно демонстрирует сразу несколько параметров распределения: центральные тенденции (среднее значение, медиана) и характеристики рассеяния объектов исследования (минимальное и максимальное значение признака, 25-й и 75-й процентиль, 10-й и 90-й процентиль).

Рисунок 9.1 – Представление распределений количественных данных с использованием диаграмм размахов (линейный график) при нормальном распределении (группа А) и распределении, отличном от нормального (группа В).

Параметрами, представляющими наибольший интерес и описание которых должно сопровождаться указанием ДИ, обычно являются:

· среднее значение признака (в случае нормального распределения признака);

· медиана (в случае распределения признака, отличного от нормального);

· относительная частота.

Чтобы вычислить границы ДИ для среднего значения признака в случае нормального его распределения, используют значение стандартной ошибки среднего значения (m). В отличие от СКО стандартная ошибка среднего не является характеристикой, описывающей рассеяние наблюдений (объектов исследования) выборки по области значений, т.е. описательной статистикой, а представляет собой меру точности оценки среднего значения в генеральной совокупности на основании данных исследуемой выборки.

Рисунок 9.2 – Представление распределений количественных данных с использованием диаграмм диапазонов при нормальном распределении (группа А) и распределении, отличном от нормального (группа В).

Интерпретация ДИ для среднего значения основывается на следующих предположениях;

· выборка является случайной или хотя бы репрезентативной;

· в генеральной совокупности анализируемый признак имеет приближенно нормальное распределение;

· объекты исследования независимы, т.е. отобраны из генеральной совокупности по одному, независимо от ранее отобранных объектов исследования.

ДИ рекомендуется представлять в виде указания нижней и верхней его границ. В общем виде границы ДИ для среднего вычисляют по следующим формулам:

М – t∙m — нижняя граница;

М + t∙m — верхняя граница,

где t — значение критерия Стьюдента, соответствующее выбранному уровню статистической значимости и числу степеней свободы (число степеней свободы равно п – 1, где п — число объектов исследования в выборке).

В частности, ДИ для среднего значения признака в выборке (в случае нормального распределения) из 100 наблюдений (объектов исследования) может быть вычислен следующим образом:

· 99% ДИ — интервал между (М-2,63m) и (М+2,63m);

· 95% ДИ - интервал между (M-1,98m) и (М+1,98m);

· 90% ДИ — интервал между (M-1,66m) и (М+1,66 m);

Формат представления ДИ в виде (M±l,98 m) допускается использовать только в таблицах (с целью экономии места ) и только в том случае, если ДИ симметричен. Однако такой формат представления ДИ вообще говоря не рекомендуется использовать, так как в этом формате традиционно принято представлять описательные статистики М±S.

9.3 Некоторые частные аспекты представления количественных данных

9.3.1 Точность представления описательных статистик количественных данных

Обычно результаты вычислений описательных статистик содержат большее число значащих цифр, чем это было в исходных данных. В этом случае числовые данные должны округляться на основании правила арифметического округления. Принято приводить оценки параметров (например, среднего значения и СКО) с той же точностью, с которой были представлены исходные данные. Например, если артериальное давление измерялось с точностью до разряда единиц, то следует приводить параметры, например, не в виде 145,36+27,427 мм рт. ст., а в виде 145±27.

9.3. 2 Данные связанных групп

Данные связанных групп — это данные, полученные от одного участника исследования (до и после лечения,и т.п.) или от разных участников, но подобранных в пары по определенным характеристикам. Такие данные могут быть представлены на графиках (например, зависимость значений изучаемого признака от времени) или в таблицах. Зачастую средние значения изучаемого признака в группах таких парных наблюдений (объектов исследования) не различаются. Поэтому в случае исследования динамических изменений количественных данных часто возникает необходимость оценить их по отношению к исходному уровню. При этом интервальные количественные данные преобразуются в относительные количественные данные. Для такого преобразования традиционно рекомендуется пользоваться следующей формулой:

где А0 — исходное значение признака, А1, — последующее его значение.

Если результат такого преобразования является отрицательным числом, то знак минус опускают и говорят об уменьшении значений параметра. Если результат является положительным числом, то говорят об увеличении значения параметра. В таблице можно привести значения со знаками минус или плюс.

9.3.3 Преобразование количественных данных

В ряде случаев возникает необходимость в преобразовании полученных данных, например:

· если изучаемый признак распределен не в соответствии с законом нормального распределения, а для использования определенного статистического метода необходимо именно нормальное распределение признака. В этом случае целью преобразования является приведение распределения к нормальному;

· если необходимо обеспечить независимость дисперсии от среднего значения, поскольку для использования ряда методов требуется обеспечить такую независимость;

· если необходимо оптимизировать множественную регрессионную модель.

В этих случаях могут быть применены следующие методы преобразования данных:

· логарифмирование;

· извлечение квадратного корня;

· обратное преобразование и т.д.

В результате некоторых преобразований распределение полученных данных может превратиться из исходно ненормального в нормальное, что дает основание для использования параметрических статистических методов.

Однако следует помнить, что при преобразовании данных преобразовываются и единицы их измерения, теряя при этом свой физический смысл. Кроме того, результаты анализа преобразованных данных бывает трудно интерпретировать.

9.3.4 Описание данных, полученных в малых выборках

Малыми условно принято называть такие выборки, в которых число наблюдений (объектов исследования) меньше 20. Эта граница условна. Ограничение основано па том, что при использовании методов описательной статистики для описания небольшого числа наблюдений (объектов исследования) можно получить искажение реальности, т.е. ввести в заблуждение исследователей, авторов, читателей. Например, имеющихся данных может быть недостаточно для того, чтобы проанализировать вид распределения изучаемого признака. В то же время необходимо заметить, что среднее значение и СКО формально можно рассчитать и из двух наблюдений (объектов исследования). При описании малых выборок принято в текстах статей и диссертаций представлять данные в исходном виде, а методы описательной статистики использовать лишь как вспомогательный способ описания выборки.

9.3.5 Анализ выпадающих данных

Выпадающие значения ("выбросы") — крайние значения признаков, не характерные для данной выборки, слишком большие или слишком малые значения. Они могут искажать распределение исходных данных и оказывать непропорционально большой эффект на результаты всех типов статистического анализа.

Причины возникновения выпадающих значений могут быть следующими:

· ошибка при получении данных (артефакт);

· ошибка при подготовке данных (опечатка);

· аномальное значение признака.

Первые две ситуации могут быть обнаружены на этапе получения описательных статистик (например, при вычислении минимальных и максимальных значений признака).

В последнем же случае от исследователя требуется особое внимание.

Бытует мнение, что на основании "правила трех сигм": можно исключать из анализа наблюдение (объект исследования), если значение признака не укладывается в интервал M±3s (причем М и s рассчитываются без учета резко отклоняющегося значения признака), и в дальнейшем анализировать данные без него.

Однако в настоящее время предпочтительным считается другой подход. Тактика работы с выпадающими значениями следующая. Данные необходимо анализировать два раза — вместе с этим выпадающим значением, а затем без него. После этого необходимо сравнить результаты, и если они устойчивы к выпадающему значению (т.е. результаты различаются незначительно), то взять первый результат. Если же они различаются, необходимо привести и прокомментировать и тот, и другой.

В любом случае факт исключения выпадающих данных должен упоминаться при описании и обсуждении полученных результатов, а также должно быть приведено обоснование такого исключения.