Лабораторная работа №2

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ СРЕДСТВАМИ

ПАКЕТА STATISTICA

Цель работы: изучение основных методов и алгоритмов проверки статистических гипотез, освоение практических приемов проверки статистических гипотез средствами пакета STATISTICA.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Основные понятия теории статистической проверки гипотез

Гипотеза – это утверждение, которое может или не может быть истинным. Статистическая гипотеза – это утверждение относительно характера или неизвестных параметров распределения случайных величин. Гипотеза называется простой, если она полностью определяет распределение случайной величины. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону, или о том, что значение некоторого параметра θ в точности равно заданной величине θо. В других случаях гипотеза называется сложной. При проверке статистических гипотез различают нулевую гипотезу Н0 и альтернативную Н1.

Нулевой гипотезой Н0 называют основную (проверяемую) гипотезу, которая утверждает, что различие между сравниваемыми величинами отсутствует.

Альтернативной (конкурирующей, противоположной) гипотезой Н1 называется гипотеза, которая принимается тогда, когда отвергается нулевая.

Например, если проверяется нулевая гипотеза Н0 о параметре θ – Н0 : θ = θо, то в качестве альтернативной гипотезы Н1 можно рассмотреть одну из следующих гипотез – Н1: θ > θо; Н1: θ < θо; Н1: θ ≠ θо; Н1: θ = θ1, где θ1 – известное значение. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Из-за невозможности определить истинность гипотезы прямым путем, мы «проверяем» гипотезу, т. е. устанавливаем, не противоречит ли высказанная нами гипотеза имеющимся выборочным данным. Эта процедура носит название статистической проверки гипотез. Результат сопоставления высказанной гипотезы с выборочным данными может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а поэтому гипотезу надо отклонить в пользу альтернативной), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а поэтому ее можно принять в качестве одного из возможных решений). При этом возможны ошибки двух видов:

1. Отклонение Н0, когда она на самом деле верна – ошибка первого рода. Вероятность этой ошибки обозначается α и называется уровнем значимости.

2. Принятие Н0, когда она на самом деле неверна – ошибка второго рода. Вероятность ошибки – β.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н0, называется критерием. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины X, необходимо выбрать подходящую статистическую характеристику Z, называемую в этом случае статистикой критерия.

Статистической характеристикой Z гипотезы Н0 называется некоторая случайная величина, определяемая по выборке, для которой известен закон распределения.

Областью отклонения (критической областью) G называется область, при попадании в которую статистической характеристики Z гипотеза Н0 отклоняется.

Областью принятия G0 называется область, при попадании в которую статистической характеристики Z гипотеза Н0 принимается.

Область принятия G0 дополняет область отклонения G до всех возможных значений статистической характеристики Z (рис. 2.1). Разделяет их точка на числовой оси za.

Рис. 2.1. Область отклонения G и принятия G0 гипотезы Н0

Область отклонения выбирается таким образом, чтобы вероятность попадания в нее статистической характеристики Z при условии, что Н0 верна, равнялась уровню значимости α. То есть область отклонения удовлетворяет условию

(2.1)

С другой стороны, для того чтобы уменьшить вероятность ошибки второго рода при выбранном α, область отклонения G, удовлетворяющую условию (2.1), нужно выбрать таким образом, чтобы вероятность попадания в нее статистической характеристики Z при условии, что верна альтернативная гипотеза Н1, была максимальной, т. е.

(2.2)

Вероятность γ – называется мощностью критерия проверки гипотез.

Так как события и – противоположны, то можно записать

β + γ = 1. (2.3)

Между α и β простой функциональной связи не существует, можно только сказать, что с увеличением одной другая уменьшается и наоборот.

Отметим, что ошибка первого рода существенней, поэтому α мы выбираем, а β – нет (принимаем полученное значение).

Из рис. 2.1 видно, что при уменьшении α zα возрастает, область отклонения сужается и, следовательно, уменьшается вероятность отклонения гипотезы Н0, если она верна. Вместе с тем при сужении области отклонения G расширяется область принятия G0 и увеличивается вероятность принятия гипотезы Н0, если она на самом деле не верна. Поэтому нельзя брать α слишком малой. В большинстве практических задач пользуются стандартными значениями уровня значимости: α = 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Наиболее распространенной является величина уровня значимости α = 0,05 (в среднем в пяти случаях из ста мы будем ошибочно отклонять нулевую гипотезу).

Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости α, называют критерием значимости.

Таким образом, проверка статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1. Сформулировать проверяемую Н0 и альтернативную Н1 гипотезы.

2. Назначить уровень значимости α.

3. Выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы Н0.

4. Определить выборочное распределение статистики Z критерия при условии, что верна гипотеза Н0.

5. Определить область отклонения (критическую область) G нулевой гипотезы в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы (рис. 2.2).

6. Получить выборку наблюдений и вычислить выборочное значение статистики критерия zв.

7. Принять статистическое решение:

– если zв входит в область отклонения G, отклонить гипотезу Н0 как не согласующуюся с результатами наблюдений;

– если zв входит в область принятия G0 принять гипотезу Н0, т. е. считать, что гипотеза Н0 не противоречит результатам наблюдений.

В статистических пакетах обычно не используется значение задаваемого уровня значимости α. Как правило, в выходных данных содержится выборочное значение zв статистики критерия Z и вероятность того, что случайная величина Z (при условии, что верна гипотеза Н0) превышает выборочное значение zв т. е. значение

. (2.4)

Эта вероятность называется р-значением (р-level).

Если р > α, то гипотеза Н0 принимается на уровне значимости р. Если р < α – гипотеза Н0 отклоняется, так как zв попадает в область отклонения G, причем вероятность ошибки первого рода равна р.

Рис. 2.2. Размещение критической области при различных

альтернативных гипотезах

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретический материал.

2. Загрузить файл Образцы_статистики с исходными данными.

3. Выполнить практические задания по проверке гипотез.

4. При выполнении практических заданий все полученные результаты (таблицы, графики, рассчитанные значения критериев, р-значение, число степеней свободы и др.) зафиксировать с помощью функции Print Screen и вставить в файл отчета по лабораторной работе.

5. Оформить отчет по лабораторной работе с помощью пакета MS Word.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Провести проверку гипотезы о нормальном законе распределения заданной выборки объемом n = 100 на уровне значимости α = 0,05.

Примечание. Для проверки гипотезы о принадлежности выборочной совокупности к какому-либо виду распределения случайной величины (например, нормальному) используются критерии согласия χ2 Пирсона и Колмогорова –Смирнова. Критерий χ2 Пирсона рекомендуется применять в случае, когда параметры распределения не известны, критерий Колмогорова – Смирнова – когда параметры распределения полностью известны. При этом проверяется нулевая гипотеза Н0 о том, что распределение случайной величины в выборке соответствует предполагаемому виду распределения случайной величины в генеральной совокупности (например нормальному).

Для проверки гипотезы о нормальном распределении по критерию χ2 в пакете STATISTICA необходимо выполнить следующие действия.

1. Создайте новую книгу: Файл / Новый / Книга / Вставка пустой таблицы и сохраните созданную книгу под именем Примеры Гипотезы в вашу рабочую папку: Файл / Сохранить как / введите в поле Имя файла название книги Примеры Гипотезы.

2. Переименуйте ярлык рабочего листа Spreadsheet1: дважды щелкните мышью по ярлыку и напечатайте поверх выделения Тест норм. Задайте число переменных – 1 и необходимое число строк (наблюдений) в соответствии с индивидуальным заданием.

3. Скопируйте из файла Образцы статистики с листа Образец 2.1 исходные данные в таблицу в соответствии с вариантом индивидуального задания.

4. В главном меню рабочего окна выберите пункт Статистика. В выпадающем меню выберите раздел Distribution Fitting (настройка распределения). Далее, в поле Continuous Distributions (непрерывные распределения) выберите Normal (нормальное распределение). Нажмите ОК. В меню Fitting Continuous Distributions нажмите кнопку Variable и выделите переменную VAR1. После выделения переменной на вкладке Parameters появятся оценки математического ожидания (Mean) и дисперсии (Variance). В строке Number of categories (число интервалов) установите значение 10. Нажмите кнопку Summary. На экран выводится таблица результатов расчета статистики критерия, которая содержит значения наблюдаемых частот (observed frequency), ожидаемых частот (expected frequency), величину статистики критерия χ2 (Chi-Square), число степеней свободы df и вычисленный уровень значимости р. При нажатии на вкладке Quick кнопки Plot of observed and expected distribution на экран выводится гистограмма распределения наблюдаемых частот с наложенным графиком ожидаемых частот, а также величина статистики критерия χ2 (Chi-Square), число степеней свободы df и вычисленный уровень значимости р.

5. По величине уровня значимости р сделайте выводы о необходимости принятия или отклонения нулевой гипотезы.

Задание 2. Провести проверку гипотезы о независимости двух признаков на уровне значимости α = 0,05.

Примечание. Для проверки гипотезы о независимости двух нормально распределенных признаков используется критерий согласия χ2 Пирсона. При этом проверяется нулевая гипотеза Н0 о том, что исследуемые признаки являются независимыми друг от друга.

Для проверки гипотезы о независимости двух нормально распределенных признаков по критерию χ2 в пакете STATISTICA необходимо выполнить следующие действия.

1. В книге Примеры Гипотезы вставьте новый рабочий лист и переименуйте его в Тест независимости переменных / задайте количество столбцов – 2 и необходимое число строк (наблюдений) в соответствии с индивидуальным заданием.

2. Скопируйте из файла Образцы статистики с листа Образец 2.2 исходные данные в таблицу в соответствии с вариантом индивидуального задания.

3. В меню рабочего окна выберите пункт Статистика. В меню Статистика выберите Basic Statistics/Tables (Основные статистики/Таблицы) В выпадающем меню выберите Tables and banners. В диалоговом окне Crosstabulation Tables (таблицы кросстабуляции) на вкладке Crosstabulation нажмите кнопку Specify tables. В раскрывшемся окне Select up to lists of grouping variables отберите переменные для анализа (list 1 – VAR1, list 2 – VAR2), нажмите OK. После возвращения в исходное диалоговое окно установите флажок на Use selected grouping codes only, нажмите кнопку Codes и в окне Select codes for grouping factors введите коды (значения) переменных, нажав кнопку All, нажмите OK. В появившемся окне Crosstabulation Tables Results (результаты таблиц сопряженности) на вкладке Options отметьте Expected frequencies (ожидаемые или теоретические частоты) и Pearson & M-L Chi-square. Затем на вкладке Quick нажмите кнопку Review Summary tables. В результате на экране появятся две таблицы – таблица частот Summary Frequency Table и Expected Frequencies. В верхней части последней указано значение статистики Chi-square, число степеней свободы df и уровень значимости р.

4. По величине уровня значимости р примите решение отклонять или нет нулевую гипотезу о независимости двух признаков.

Задание 3. Провести проверку гипотезы о равенстве средних арифметических величин двух выборок на уровне значимости α = 0,05.

Примечание. Для проверки гипотезы о равенстве средних арифметических величин двух выборок с нормальным распределением случайной величины используется критерий t Стьюдента. При этом проверяется нулевая гипотеза Н0 о том, что средние арифметические величины выборок равны. Необходимо также иметь в виду, что существуют две модификации критерия Стьюдента для независимых и зависимых выборок.

Для проверки гипотезы о равенстве средних арифметических величин двух выборок в пакете STATISTICA необходимо выполнить следующие действия.

1. В книге Примеры Гипотезы вставьте новый рабочий лист и переименуйте его в Тест равенство средних / задайте количество столбцов – 2 и необходимое число строк (наблюдений) в соответствии с индивидуальным заданием.

2. Скопируйте из файла Образцы статистики с листа Образец 2.3 исходные данные в таблицу в соответствии с вариантом индивидуального задания.

3. В главном меню рабочего окна выберите пункт Статистика. В выпадающем меню выберите Basic Statistics/Tables (Основная статистика/Таблицы). В выпадающем окне выберите t-test, independent, by variables, нажмите OK. В выпадающем окне T-Test for Independent Samples by Variables нажмите кнопку Variables (groups). В выпадающем окне Select two variable lists (lists of groups) в поле First variable (group) list выберите переменную Var1, в поле Second variable (group) list – переменную Var2, нажмите OK. Затем на вкладке Quick нажмите кнопку Summary: T-test. В результате получите таблицу с результатами расчетов.

4. Просмотрите таблицу, найдите столбец, который содержит расчетное значение уровня значимости p и в зависимости от его значения примите решение отклонять или нет нулевую гипотезу о равенстве средних арифметических величин выборок.

Задание 4. Провести проверку гипотезы об однородности независимых выборок с неизвестным распределением вариант на уровне значимости α = 0,05.

Примечание. Для проверки гипотезы об однородности двух независимых выборок, извлеченных из различных генеральных совокупностей с неизвестным распределением вариант, используются непараметрические критерии: критерий серий Вальда – Вольфовица, критерий Манна – Уитни и двухвыборочный критерий Колмогорова – Смирнова. При этом проверяется нулевая гипотеза Н0 о том, что исходные совокупности имеют одинаковое распределение случайных величин, т. е. не имеют существенных различий.

Для проверки гипотезы об однородности выборок в пакете STATISTICA необходимо выполнить следующие действия.

1. В книге Примеры Гипотезы вставьте новый рабочий лист и переименуйте его в Тест однородности выборок / задайте количество столбцов (переменных) равное 2 и количество строк (наблюдений) равное суммарному числу вариант исходных выборок в соответствии с индивидуальным заданием / переименуйте переменную Var1 в Данные, а переменную Var2 в Коды.

2. Скопируйте из файла Образцы статистики с листа Образец 2.4 значения вариант исходных выборок в соответствии с вариантом индивидуального задания и вставьте их последовательно в столбец Данные таблицы / введите в столбец Коды код 1 для вариант первой исходной выборки и код 2 для вариант второй исходной выборки.

3. В главном меню рабочего окна выберите пункт Статистика. В выпадающем меню выберите процедуру Непараметрические данные. В выпадающем окне Nonparametric Statistics выберите Comparing two independent samples (groups) и нажмите кнопку OK. В выпадающем окне Comparing Two Groups нажмите кнопку Variables, в выпадающем окне Select dep. variables and an indep. (grouping) variable в поле Dependent variable list выберите переменную Данные, а в поле Indep. (grouping) variable – переменную Коды и нажмите OK. После возврата в окно Comparing Two Groups на вкладке Quick нажмите кнопку Wald-Wolfowitz tuns test. В результате в окне появится таблица с результатами расчетов.

4. Просмотрите таблицу, найдите расчетное значение критерия Z, расчетное значение уровня значимости p-level, число серий No. of Runs. В зависимости от значения уровня значимости p-level примите решение отклонять или нет нулевую гипотезу об однородности выборок.

5. Проведите аналогичным образом проверку гипотезы об однородности выборок с помощью критериев Манна – Уитни и Колмогорова – Смирнова. Сравните полученные результаты.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Цель работы.

2. Краткие теоретические сведения.

3. Результаты выполнения работы в виде таблиц исходных данных и результатов расчетов значений критериев проверки статистических гипотез.

4. Выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что представляет собой гипотеза?

2. Что представляет собой нулевая гипотеза?

3. Что представляет собой альтернативная гипотеза?

4. Что представляет собой ошибка первого рода?

5. Что представляет собой ошибка второго рода?

6. Что представляет собой мощность критерия проверки гипотезы?

7. Что представляет собой область принятия нулевой гипотезы?

8. Что представляет собой область отклонения нулевой гипотезы?

ЛИТЕРАТУРА

1. Вуколов, Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и ЕXCEL : учеб. пособие / Э. А. Вуколов. – 2-е изд., испр. и доп. – М. : ФОРУМ, 2008. – 464 с.

2. Халафян, А. А. STATISTICA 6. Статистический анализ данных : учебник. / А. А. Халафян. – 3-е изд. – М. : Бином-Пресс, 2007. – 512 с.

3. Годин, А. М. Статистика : учебник / А. М. Годин. – 9-е изд., перераб. и испр. – М. : Издательство – торговая корпорация «Дашков и К°», 2011. – 460 с.

4. Реброва, О. Ю. Статистический анализ медицинских данных. Применение пакета прикладных программ STATISTICA / О. Ю. Реброва. – 3-е изд. – М. : МедиаСфера, 2006. – 312 с.

5. Аксенчик, А. В. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.-метод. пособие / А. В. Аксенчик. – Минск : БГУИР, 2011. – 184 с.

6. Степанова, М. Д. Проверка статистических гипотез : учеб.-метод. пособие / М. Д. Степанова. – Минск : БГУИР, 2000. – 36 с.