Тема №11

11 СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ ПО КАЧЕСТВЕННОМУ ПРИЗНАКУ

11.1 Описание качественных признаков

Как уже упоминалось ранее, качественные признаки (переменные, данные) могут быть номинальными (иногда используется термин "номинативные"), в том числе бинарными, и порядковыми.

Номинальными называются признаки, значения которых представляют собой условные коды неизмеряемых категорий (например, коды пола или коды диагноза). Значения таких признаков не могут быть упорядочены по какому-либо семантическому принципу.

Порядковыми (ранговыми) называются признаки, значения которых отражают степень выраженности какой-либо характеристики объекта исследования (например, стадии заболевания, степени выраженности симптома). При этом в отличие от количественных признаков "расстояния" между значениями порядковых признаков не могут быть оценены с помощью какой-либо известной шкалы, однако все же значения порядкового признака могут быть упорядочены (ранжированы). Порядковые признаки являются качественными (иногда их называют "полуколичественными") оценками какой-либо характеристики.

Все объекты исследования выборки могут быть разделены на подгруппы в соответствии со значениями любого из имеющихся качественных признаков, например, по полу. Число объектов исследования с определенным значением качественного признака называется абсолютной частотой. Кроме абсолютных частот широко используются и относительные частоты. Относительная частота — это отношение числа объектов с каким-либо значением признака к объему числу объектов.

Анализ качественных данных начинается с простейшего подсчета абсолютных и относительных частот для каждого значения (градации) такого признака. Если объекты исследования в группе распределяются в соответствии со значениями двух качественных признаков, то строят прямоугольные таблицы сопряженности, или таблицы кросстабуляции (табл. 11.1).

Таблица 11.1 – Таблица сопряженности признаков пола и конституции

В ячейках таблицы указаны количества объектов исследования, соответствующих различным сочетаниям значений признаков (абсолютные частоты).

В общем случае при наличии нескольких качественных признаков для анализа взаимосвязи между отдельными парами качественных признаков строятся таблицы сопряженности для всех возможных пар таких признаков.

Если число качественных признаков, по значениям которых распределяются объекты исследования выборки, равно трем и больше, то возможно построение таблиц сопряженности с тремя осями в многомерном пространстве признаков и более. Для анализа таких таблиц используют достаточно сложные методы статистического анализа, такие как логлинейный анализ, логистическая регрессия, анализ деревьев классификаций и т.д. Следует помнить, однако, что при увеличении числа признаков, по которым табулируются объекты исследования, абсолютные частоты в ячейках таблицы резко уменьшаются, а, следовательно, становится меньше шансов получать надежные статистические выводы при анализе таких таблиц.

Для порядковых признаков имеет смысл вычислять параметры распределения — медиану, моду, квартили.

Для номинальных признаков целесообразнее представление в виде относительных частот объектов исследования.

Для признаков бинарного типа (т.е. имеющих только два значения — 'да и "нет', часто такие признаки называют еще дихотомическими) — представление в виде относительной частоты (доли, пропорции) и ее доверительного интервала.

Дальнейший анализ качественных признаков состоит обычно в сопоставлении соответствующих частот в исследуемых группах или сравнении параметров распределения. Это может быть проверка гипотез о равенстве медиан в сравниваемых группах или сравнение долей (пропорций) в этих группах.

Следует также отметить, что в современной статистике разработаны, а в ряде статистических пакетов и реализованы специальные методы оцифровки качественных признаков (20).

Следует также отметить, что в современной статистике разработаны, а в ряде статистических пакетов и реализованы специальные методы оцифровки качественных признаков (201).

Тем не менее, как уже упоминалось ранее, при достаточно большом числе возможных значений качественного порядкового признака (обычно приближающемся к 20) на практике для анализа таких признаков могут применяться те же непараметрические методы, что и для количественных признаков.

Пример: Скандинавская шкала оценки неврологического дефицита при инсульте имеет минимально возможное значение 0, максимальное значение 60. В подобных случаях принято применять те же методы анализа, что и для количественных признаков (предварительно анализируя, как обычно, вид распределения).

Существуют следующие основные способы описания качественных данных:

— вычисление параметров распределения качественных данных — моды (для номинальных данных), медианы, моды и квартилей (для порядковых данных);

—вычисление абсолютных и относительных частот (пропорций, долей, процентов) и доверительных интервалов для них.

11.1.1 Вычисление параметров распределения качественных признаков

Для описания распределения качественных номинальных признаков можно использовать единственный параметр. Этим параметром (параметром положения) является мода (Мо) — наиболее часто встречающееся на данной выборке, типичное для нее значение номинального признака.

Моду также можно вычислять и для качественных порядковых признаков. Вычисление других параметров распределения возможно только для порядковых признаков (но не номинальных!):

— медиана (Me) — центральное значение признака в выборке, слева и справа от которого расположены равные количества объектов исследования;

— процентили распределения, в том числе нижний квартиль (LQ, или Q1) и верхний квартиль (UQ, или Q3) — для характеристики рассеяния в выборке.

Рекомендуемое представление результатов. Привести следующую информацию:

— для номинального признака — значение моды;

— для порядкового признака — значение медианы и квартилей в формате Me (Q1; Q3) или значение моды и квартилей в формате Mo (Q1; Q3).

—

11.1.2 Вычисление абсолютных и относительных частот (долей, процентов, вероятностей, шансов)

Часто задачей исследования является подсчет числа повторений исследования (абсолютной частоты) или их доли (относительной частоты) в исследуемой выборке, соответствующей значению какого-либо признака. Иными словами, необходимо ответить на вопрос: сколько больных (абсолютное число, абсолютная частота) или какая доля, процент от общего числа больных (относительная частота) характеризовались тем или иным значением признака.

Абсолютная частота признака — это количество объектов исследования в группе, имеющих данную характеристику (значение признака).

Относительная частота признака (распространенность) — это доля объектов исследования в группе, имеющих данную характеристику (значение признака) по отношению к общему числу наблюдений (объектов исследования) в группе. Выражается обычно в десятичных долях единицы (например, 0,3) или процентах (например, 30%).

В современной литературе также широко используются понятия "пропорция", "доля", "вероятность" и "шанс". Последний термин применяется преимущественно по отношению к бинарным данным.

Пропорция, доля, вероятность — это относительная частота события, выраженная в десятичных долях единицы или в процентах. Изменяется в интервале от 0 до 1, или от 0 до 100%.

Шанс — отношение вероятности того, что событие произойдет, к вероятности того, что событие не произойдет.

Шанс — это отношение частоты возникновения события к частоте его отсутствия.

Значение шанса изменяется в интервале от нуля до бесконечности.

Пример: если вероятность возникновения осложнений после операции равна В (например, 0,3), то вероятность того, что оно не произойдет, равна 1 - В (в нашем примере 0,7). Шанс события равен отношению этих вероятностей (в нашем примере 3:7=0,43).

Функциональную взаимосвязь шанса и вероятности для бинарного признака (события) можно изобразить на графике следующим образом (рис. 11.1).

Puсунок 11.1 – Функциональная взаимосвязь вероятности события (ось абсцисс) и его шанса (ось ординат)

Относительные частоты удобно представлять в виде процентов. Это делается с целью дальнейшего сопоставления разных по объему выборок по каким-либо характеристикам, частота которых в выборке представлена в виде процентов.

Вычисление абсолютных частот и процентов для одного качественного признака удобно производить путем построения таблиц частот и процентов.

Рекомендуемое представление результатов. Проценты необходимо представлять в тексте или таблице, одновременно указывая абсолютное значение той величины, которая принята за 100%, например 25% из 120 больных. Другой способ — указание одновременно и процентов, и абсолютных значений, например "25% (30/120)" или "30 из 120 больных (25%)".

В случае, если проводят последовательный пересчет процентов, т.е. вычисляют процент от процента (процент от числа объектов исследования в ранее описанной процентами подгруппе), необходимо понятно описать эту процедуру и представить количества объектов исследования, принимаемые последовательно за 100%.

Необходимая точность приводимых значений процентов зависит от объема выборки:

— Так называемые малые выборки (менее 20 объектов исследования) вообще не принято описывать процентами (так как значение процента оказывается в таких случаях значительно больше абсолютного числа объектов исследования). В этих случаях указываются абсолютные значения частот для значений того или иного признака.

— Если объем выборки составляет от 20 до 100 объектов исследования, то проценты представляют в виде целых чисел.

— Если объем выборки больше 100 объектов исследования, то процент указывается не более чем с одним разрядом десятичной дроби.

11.1.3 Описание относительной частоты бинарного признака с использованием доверительного интервала

В современной научной литературе относительные частоты бинарных признаков — "событий" (т.е. признаков, имеющих только два возможных значения — "да" и "нет") — принято приводить вместе с указанием их ДИ.

Напомним, что ДИ — это интервал, в котором с некоторой вероятностью (например, 95% в случае 95% ДИ) находится истинное значение параметра в генеральной совокупности. Границы ДИ вычисляют на основании анализа данных выборки.

Задача: оценить популяционное значение относительной частоты какого-либо состояния по данным выборки.

Пример: благоприятный результат операции наблюдается у 67% больных в изучаемой выборке. Возникает вопрос: какой процент благоприятных результатов будет наблюдаться при применении данной операции у пациентов данной категории в другой аналогичной клинике, другим врачом подобной квалификации и т.д. (т.е. в общей популяции таких больных)? Понятно, что в общей популяции будет наблюдаться определенный разброс в результатах этого метода лечения. Вычислить границы этого разброса на основании собственных данных — и означает определить границы ДИ.

Решение: ДИ определяется, как всегда в статистике, с определенной долей уверенности. Обычно используют коэффициент доверительной вероятности 95%, но можно использовать 90%, 99% и др. При этом с соответствующей долей уверенности можно считать, что истинное популяционное значение находится в границах такого ДИ.

Условия применимости метода. Использование значений t-критерия в описанной ниже формуле возможно в случае одновременного выполнения следующих условий:

- пР>5,

- n(1-Р) ≥5,

- 0,3≤ Р ≤0,7,

где Р — относительная частота события, выраженная десятичной дробью, п — общее число объектов исследования в выборке.

Перечисленные ограничения применимости метода связаны с необходимостью обоснования использования нормальной аппроксимации биномиального распределения .

При вычислении соответственно верхней и нижней границ ДИ для относительной частоты бинарного признака (доли) можно использовать следующую приближенную формулу:

где P — относительная частота события, выраженная десятичной дробью, п — общее число объектов исследования в выборке, t — значение t-критерия, соответствующее объему исследуемой выборки и ДВ .(95, 90 или 99%), обычно принимается приближенно равным 1,96 для 95% ДИ, — поправка на непрерывность, компенсирующая ошибку, возникающую при аппроксимации биномиального распределения нормальным.

Точное значение t для конкретного случая можно узнать, воспользовавшись справочными таблицами

Интерпретация результата. С определенной долей уверенности (соответствующей ДК) можно утверждать, что истинное популяционное значение лежит в границах вычисленного ДИ.

11.2 Сравнение групп по качественному признаку

Выбор метода сравнения групп по качественному признаку зависит от типа этого признака, количества и связанности сопоставляемых групп. Ниже перечислены сочетания этих факторов и ссылки на соответствующие методы:

— признак номинальный (имеет три неупорядоченных значения и более)

— тест χ2 (применяется для всех перечисленных ниже случаев):

— сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот (анализ одной группы);

— сравнение двух групп и более;

— признак порядковый (имеет три упорядоченных значения и более):

— сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот (анализ одной группы);

— сравнение двух несвязанных групп:

—тесты Манна–Уитни, Вальда–Вольфовица, Колмогорова–Смирнова;

—критерий χ2;

— сравнение двух связанных групп:

—критерий Вилкоксона, критерий знаков;

—критерий χ2;

— сравнение трех несвязанных групп и более:

— анализ вариаций (ANOVA) по Краскелу—Уоллису

— критерий χ2

— сравнение трех связанных групп и более:

— анализ вариаций (ANOVA) по Фридмену;

— критерий χ2.

Как можно заметить, для порядковых признаков во многих случаях пригодны те же методы, что и для номинальных признаков. Однако помимо них для анализа порядковых данных можно также применять и непараметрические методы анализа, которые используются и при анализе количественных данных.

11.2.1 Сравнение наблюдаемых и ожидаемых частот (анализ одной группы)

Задача: сравнить распределение частот значений номинального или порядкового признака с ожидаемым (на основании априорных представлений) распределением частот.

Пример: известно, что в популяции распределение генотипов I, II и III следующее: генотип I — 10%, генотип II — 60%, генотип III — 30%. В исследуемой выборке (300 человек, проживающих на изолированной территории) наблюдается следующее распределение генотипов: генотип I — у 54 человек (18%), генотип II — у 171 человека (57%) и генотип III — у 75 человек (25%). Требуется исследовать, отличается ли выборочное распределение генотипов от популяционного, или наблюдаемые колебания случайны.

Решение: применение критерия χ2 для сравнения наблюдаемой и ожидаемой частот. Для реализации этого способа сначала следует сформировать следующую таблицу (табл. 11.2). Ожидаемые абсолютные частоты являются произведениями ожидаемых относительных частот на объем выборки.

Таблица 11.2 – наблюдаемые и ожидаемые частоты бинарного признака

В нашем примере ожидаемые частоты вычисляются следующим образом:

— для генотипа I: 0,10x300= 30;

— для генотипа II: 0,60x300= 180;

— для генотипа III: 0,30x300=90.

Данные таблицы наблюдаемых и ожидаемых частот вносят в отдельный файл данных, а затем проводят расчеты.

После выполнения расчетов в окне результатов надо обратить внимание на рассчитанное значение р.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если р>0,05, то нулевая гипотеза о совпадении наблюдаемой и ожидаемой частот не отклоняется.

— Если р<0,05, то нулевая гипотеза отклоняется, и принимаетcя альтернативная гипотеза о различии между наблюдаемой и ожидаемой частотами.

11.2.2 Сравнение двух групп и более

Задача: сравнить две группы и более по качественному признаку.

Пример: сравнить распространенность больных с I, II, III стадиями гипертонической болезни (ГБ) в группах больных инфарктом миокарда и инсультом.

Решение: задача решается в два этапа:

· построение таблицы сопряженности;

· анализ таблицы сопряженности на предмет проверки гипотезы о случайности распределения частот в таблице сопряженности.

Рассмотрим эти этапы последовательно.

Этап 1-й — построение таблицы сопряженности. На данном этапе решения задачи необходимо узнать, сколько объектов исследования в каждой группе имеют определенное значение изучаемого качественного признака, т.е. подсчитать абсолютные частоты для каждого из сочетаний значений двух признаков — группирующего и анализируемого. Таблица, содержащая такие абсолютные частоты, называется таблицей сопряженности, или таблицей кросстабуляции. В принципе таблица сопряженности может содержать различное количество строк и столбцов. При этом строки таблицы соответствуют значениям первого признака, а столбцы — значениям второго признака.

Таблица с двумя строками и двумя столбцами (так называемая таблица 2x2) является частным случаем таблицы сопряженности и называется четырехпольной таблицей (так как содержит четыре “поля” -ячейки).

Подчеркнем, что в ячейках таблицы сопряженности могут находиться лишь абсолютные частоты, т.е. количества объектов исследования, но не относительные частоты (доли, проценты), средние значения и т.д.

В нашем примере исследователя интересует распределение числа объектов исследования по группам (первый фактор) и стадиям ГБ (второй фактор). В этом случае первым признаком при построении таблицы сопряженности является код группы, а вторым — стадия ГБ. В другом случае такой парой признаков могут быть, например, метод лечения и исход заболевания.

Этап 2-й — анализ таблицы сопряженности. После построения таблицы сопряженности проверяется наличие статистической взаимосвязи двух анализируемых признаков, т.е. влияет ли один признак (например, метод лечения) на распределение числа объектов исследования по другому признаку (например, исходам заболевания), и является ли это влияние статистически значимым, т.е. ассоциированы ли эти два признака.

Для решения такой задачи можно сформулировать и проверить нулевую статистическую гипотезу. В данном случае нулевая гипотеза может быть сформулирована по-разному:

— гипотеза об однородности — группы происходят из одной и той же популяции, т.е. идентичны в отношении другого признака;

— гипотеза о независимости признаков — распределение по одному признаку не влияет на распределение по другому признаку.

Соответственно альтернативными гипотезами являются следующие:

— группы (выборки) получены из разных популяций, т.е. различаются по второму признаку;

— признаки являются зависимыми.

Для проверки любой из нулевых гипотез по таблице сопряженности в предлагается использовать следующие методы:

— "Пирсона и МП хи-квадрат" ("Pearson and ML CHI-square") — применяются для любых двумерных (прямоугольных) таблиц;

— "Точный Фишера, Йетса, МакНемара (таблицы 2x2)" ("Fisher exact, Yates, McNemar (2x2 tables)") — применяются для анализа четырехпольных таблиц, т.е. для анализа двух признаков, каждый из которых является бинарным.

Наиболее универсальным и распространенным из перечисленных методов является критерии χ2.

Необходимо подчеркнуть, что при намерении использовать критерий χ2 необходимо предварительно убедиться в том, что результаты применения этого критерия (в частности, значение р) будут правильными (несмещенными). Правильность результатов обеспечивается только в случае, если частоты во всех ячейках таблицы ожидаемых частот больше или равны 5. Следовательно, в каждом случае необходимо строить также и таблицу ожидаемых частот.

Интерпретация результатов проводится в два этапа. Сначала анализируется таблица ожидаемых частот. Если во всех ячейках этой таблицы частоты не меньше 5, то в дальнейшем можно с достаточной степенью уверенности интерпретировать результаты применения критерия χ2 . Некоторые статистики считают критерий устойчивым, если ожидаемые частоты во всех ячейках хотя бы не нулевые, а доля ячеек, где ожидаемые частоты меньше 5, не превышает 20%. Если и это более мягкое условие не выполняется, рекомендуется превращать таблицу в четырехпольную путем объединения столбцов и/или строк, а затем использовать, например, точный критерий Фишера. В случае, если это невозможно, следует обязательно при представлении результатов статистического анализа указывать на возможную неустойчивость критерия χ2.

На втором этапе интерпретируются результаты применения критерия χ2, с помощью которого проверяется нулевая статистическая гипотеза в той или иной описанной выше формулировке. Рассчитанные значения р для каждого из вариантов метода выводятся в соответствующий столбец таблицы результатов:

— при р>0,05 нулевая гипотеза об однородности (т.е. об отсутствии различий между группами) либо нулевая гипотеза о независимости признаков не отклоняются;

—при р<0,05 нулевая гипотеза отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза о различии групп или об ассоциированности признаков.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— таблицу сопряженности;

— название статистического метода и его варианта (Пирсона или МП);

— точное значение р.