Практическое занятие

ОПИСАНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

Для описания количественных признаков используют так называемые описательные статистики, т.е. параметры распределения. Если исследование проведено с использованием малой выборки, то в таком случае необходимо приводить в тексте статьи или отчета таблицу данных. При этом зачастую отсутствует необходимость в описательной статистике.

Для того чтобы выбрать способ описания количественного признака, следует сначала установить, соответствует ли вид распределения значений изучаемого признака закону нормального распределения.

1. Анализ соответствия вида распределения признака закону нормального распределения

Первым этапом анализа количественных данных является анализ вида их распределения. Реально ни в одной выборке не может быть строго нормального распределения признака. Однако необходимо установить, отобрана ли эта выборка из генеральной совокупности, в которой изучаемый признак имеет нормальное распределение. Для простоты мы далее будем считать, что вид распределения признака в генеральной совокупности установлен по выборке.

Существуют несколько способов решения этой задачи.

Первый способ. Построить гистограмму распределения признака. После этого можно визуально оценить, насколько диаграмма близка к колоколу нормального распределения, прорисованному красной линией.

Второй способ. Можно построить график функции распределения в специальных координатах. После этого можно также визуально оценить, насколько близко к прямой лежат точки, отражающие отдельные объекты исследования.

Третий способ. Одним из количественных способов является оценка симметричности распределения признаков, имеющих только положительные значения. Если S<М/2 (среднее квадратическое отклонение меньше половины среднего арифметического), то распределение можно считать симметричным (симметричность – одна из основных характеристик нормального распределения).

Однако третий способ не позволяет оценить эксцесс — степень крутизны графика, или ого плосковершинность.

Четвертый способ. Для получения надежной оценки соответствия изучаемого распределения признака закону нормального распределения следует проверкой статистических гипотез о виде распределения, т.е. о том, извлечена ли выборка из генеральной совокупности, в которой изучаемый признак имеет нормальное (гауссово) распределение.

По результатам анализа можно принять одну из гипотез:

· нулевую гипотезу о том, что распределение исследуемого признака в генеральной совокупности соответствует закону нормального распределения;

· альтернативную гипотезу о том, что распределение исследуемого признака в генеральной совокупности не соответствует закону нормального распределения.

Для принятия решения о виде распределения можно применять следующие критерии:

· Колмогорова—Смирнова. Применяется в тех случаях, когда среднее значение и среднее квадратическое отклонение признака известны априори, а не вычисляются по выборке;

· Лиллиефорса. Применяется в тех случаях, когда среднее значение и среднее квадратическое отклонение признака априори неизвестны и вычисляются по выборке;

· Шапиро—Уилка. Применяется также при исходно неизвестных среднем значении и среднем квадратическом отклонении признака. Данный критерий предпочтителен, так как является наиболее мощным и универсальным и при этом наиболее «строгим» из перечисленных.

Интерпретация результатов оценки соответствия изучаемого распределения признака закону нормального распределения.

Если полученное значение р для данного статистического критерия (теста) больше критического (принятого исследователем) уровня статистической значимости (например 0,05), то нулевую гипотезу не отклоняют, т.е. распределение исследуемого признака приближенно можно считать нормальным. Из этого следуют два вывода:

1) для описания распределения этого признака можно использовать такие параметры, как среднее значение и СКО;

2) при сравнении групп по этому признаку мы вправе пользоваться параметрическими методами. В этом случае также можно использовать и непараметрические методы, однако в связи с тем, что они обладают несколько меньшей статистической мощностью (чувствительностью), т.е. реже, чем параметрические методы, обнаруживают существующие различия выборок, предпочтительнее применять параметрические методы.

Если при использовании критериев нормальности p<0,05 (или другой принятой критической величины), то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную, т.е. распределение признака считать отличающимся от нормального. В этом случае сравнение групп по этому признаку должно проводиться с использованием исключительно непараметрических методов.

Напомним основные свойства нормального распределения признака:

· нормальное распределение признака симметрично относительно своего среднего значения;

· среднее значение, мода и медиана распределения признака совпадают;

· приблизительно 68% значений признака (объектов исследования) находятся в интервале M±S, 95,5% — в интервале M±2s, 99,72% — в интервале M±3s, где М — среднее значение, S — среднее квадратическое отклонение .

2. Описание количественных данных в зависимости от вида их распределения

При представлении данных в научной статье или отчете обычно следует обобщить наблюдения (объекты исследования) выборки, т.е. привести описательную статистику (параметры распределения) для количественных признаков. Это необходимо для того, чтобы можно было составить представление о том, каковы основные характеристики выборки — центральная тенденция, рассеяние по каждому из изучаемых признаков.

При описании малых выборок (в которых число наблюдений или объектов исследования не больше 20) рекомендуется приводить таблицу с исходными данными, так как для таких выборок методы статистики, в том числе описательной, не всегда адекватны.

При описании больших выборок требуется привести таблицу, в которой описаны центральные тенденции и рассеяние значений количественных признаков в данной выборке, или соответствующий рисунок.

Меры центральной тенденции (меры локализации, меры положения) показывают наиболее типичное значение для данной выборки. К мерам центральной тенденции относятся:

· среднее значение (М) — среднее арифметическое;

· медиана (Me) — значение, справа и слева от которого на оси значений признака располагаются равные количества значений признака данной выборки;

· мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в выборке;

Меры рассеяния показывают разброс значений признака в выборке. К мерам рассеяния относятся:

· размах — разность максимального и минимального значений признака;

· интерпроцентильный размах (интервал) — значения каких-либо процентилей распределения, например 10-го и 90-го;

· интерквартильный размах (интервал) — значения 25-го и 75-го процентилей. Такой интервал независимо от вида распределения включает 50% значений признака в выборке;

· среднее квадратическое (стандартное) отклонение (СКО, s). Показывает разброс данных по интервалу значений признака относительно среднего значения.

Центральные тенденции и рассеяния количественных признаков, имеющих приближенно нормальное распределение (и только таких признаков!), следует описывать средним значением (М) и средним квадратическим отклонением (s) в формате М(s).

Центральные тенденции и рассеяния количественных признаков, не имеющих приближенно нормального распределения, следует описывать медианой и интерквартильным размахом (25-й и 75-й процентили) или другим интерпроцентильным размахом (например, 80% интерпроцентильный размах — между 10-й и 90-й процентилями).

Для описания выборочного нормального распределения количественных признаков необходимо указывать как минимум следующие параметры;

· число наблюдений (объектов исследования);

· среднее значение признака;

· среднее квадратическое отклонение.

Для описания выборочного распределения количественных признаков, которое отличается от нормального, рекомендуется указывать:

· число объектов исследования;

· медиану;

· верхний и нижний квартили.

Выявление максимального и минимального значений признака необходимо для контроля за соответствием данных допустимым значениям признака. Эти значения позволяют обнаружить:

· ошибки, возникшие при вводе данных (естественно, ошибки необходимо исправить, а затем выполнить расчеты заново) ;

· выпадающие значения.

Размах представляет собой разность максимального и минимального значений признака. Этот параметр бывает необходим в том случае, если нужно принять решение о возможности рассматривать дискретный признак (число возможных значений которого достаточно велико) приближенно непрерывным. Так, если размах превышает 20, то допустимо приближенно считать такой признак непрерывным. Например, число эритроцитов является по физическому смыслу дискретным признаком, так как при измерениях их числа дробные значения не фиксируются. И даже не фиксируются значения с точностью менее миллиона. Однако поскольку число возможных значений достаточно велико, то такой признак вполне обоснованно можно анализировать как непрерывный.

Результаты, полученные с помощью методов описательной статистики, удобно представлять в виде рисунков — диаграмм размахов и диапазонов. Они удобны для представления как нормальных, так и других распределений признаков. Приведем примеры подобного представления.

На рисунке 1 показана диаграмма размахов в виде линейного графика. Нормальные распределения переменных (признаков), таких как в группе А, удобно представлять в виде отрезка [М - s; М + s). Распределения как нормальные, так и отличающиеся от нормальных (группа В), можно представлять в виде интерквартильного интервала между 25-м и 75-м процентилями, включающим 50% значений признака в выборке.

На рисунке 2 показан другой способ представления распределений количественных данных — диаграмма диапазонов (так называемый коробочный график) для нормально (группа А) и ненормально (группа В) распределенных переменных (признаков). Такой график наглядно демонстрирует сразу несколько параметров распределения: центральные тенденции (среднее значение, медиана) и характеристики рассеяния объектов исследования (минимальное и максимальное значение признака, 25-й и 75-й процентиль, 10-й и 90-й процентиль).

Рисунок 1 – Представление распределений количественных данных с использованием диаграмм размахов (линейный график) при нормальном распределении (группа А) и распределении, отличном от нормального (группа В)

Параметрами, представляющими наибольший интерес и описание которых должно сопровождаться указанием ДИ, обычно являются:

· среднее значение признака (в случае нормального распределения признака);

· медиана (в случае распределения признака, отличного от нормального);

· относительная частота.

Чтобы вычислить границы ДИ для среднего значения признака в случае нормального его распределения, используют значение стандартной ошибки среднего значения (m). В отличие от СКО стандартная ошибка среднего не является характеристикой, описывающей рассеяние наблюдений (объектов исследования) выборки по области значений, т.е. описательной статистикой, а представляет собой меру точности оценки среднего значения в генеральной совокупности на основании данных исследуемой выборки.

Рисунок 2 – Представление распределений количественных данных с использованием диаграмм диапазонов при нормальном распределении (группа А) и распределении, отличном от нормального (группа В)

ДИ рекомендуется представлять в виде указания нижней и верхней его границ. В общем виде границы ДИ для среднего вычисляют по следующим формулам:

М – t∙m — нижняя граница;

М + t∙m — верхняя граница,

где t — значение критерия Стьюдента, соответствующее выбранному уровню статистической значимости и числу степеней свободы (число степеней свободы равно п – 1, где п — число объектов исследования в выборке).

В частности, ДИ для среднего значения признака в выборке (в случае нормального распределения) из 100 наблюдений (объектов исследования) может быть вычислен следующим образом:

· 99% ДИ — интервал между (М-2,63m) и (М+2,63m);

· 95% ДИ - интервал между (M-1,98m) и (М+1,98m);

· 90% ДИ — интервал между (M-1,66m) и (М+1,66 m);

Формат представления ДИ в виде (M±l,98 m) допускается использовать только в таблицах (с целью экономии места ) и только в том случае, если ДИ симметричен. Однако такой формат представления ДИ вообще говоря не рекомендуется использовать, так как в этом формате традиционно принято представлять описательные статистики М±S.

3 Характеристики вариационного ряда при нормальном законе распределения вариант

Обобщенными характеристиками значений вариант служат средняя арифметическая величина, мода, медиана и квартили. Каждая из этих характеристик своеобразна. Они не могут подменить друг друга и лишь в совокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют особенности вариационного ряда.

Наиболее общей характеристикой всех значений вариант является средняя арифметическая величина. Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Средняя арифметическая простая вычисляется по формуле:

| (1)

В вариационных рядах, где отдельные варианты встречаются с разной частотой (т.е. имеют разный вес) определяется средняя арифметическая взвешенная по формуле:

| (2)

Как видно из формулы, на величине средней арифметической сказывается влияние всех вариант входящих в вариационный ряд, причем это влияние прямо пропорционально числу повторений вариант. Взвешенную среднюю арифметическую величину необходимо вычислять во всех случаях, когда частоты не одинаковы.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

1) сумма отклонений от средней равна нулю;

2) при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);

3) если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя увеличится (уменьшится) на то же число.

Эти свойства могут быть использованы для облегчения и упрощения расчета средней арифметической величины.

Первое свойство, например, служит обоснованием расчета средней арифметической по способу моментов:

(3)

где:

xi – середины интервалов вариационного ряда;

А – условная средняя арифметическая, за которую принимают значение середины интервала, имеющего наибольшую частоту.

Особенно удобно способ моментов использовать при вычислении средней арифметической в интервальном вариационном ряду. Для этого необходимо сначала определить середины интервалов. Величину одной из середин интервала следует принять за условную среднюю (А), после чего найти отклонения всех других середин интервалов от этой величины хi - А. Полученные разности затем необходимо умножить на соответствующие частоты, произведения суммировать и подставить найденную величину в формулу для вычисления (3).

Второе свойство средней арифметической полезно применить при анализе вариационного ряда, состоящего либо из очень больших, либо из очень малых величин. Имеются, например, варианты: 0,0001; 0,0002; 0,0003. Используя это свойство, увеличим их в 10000 раз, получим величины 1, 2, 3. Средняя арифметическая из них равна 2, а искомая средняя арифметическая в 10000 меньше, т. е. 0,0002.

Модой (Мо) называют значение наиболее часто встречающейся варианты. В интервальном вариационном ряду мода находится как середина того интервала, которому соответствует наибольшая частота.

Более точно мода определяется по формуле:

(4)

где:

– начальное значение интервала, содержащего моду;

D – ширина интервала;

– частота вариант в интервале, содержащем моду;

и – частоты вариант в соседних интервалах.

Как указывалось выше, кривая нормального распределения симметричная и одновершинная. Следовательно, в таком вариационном ряду может быть только одна мода. Если при анализе явления, которое предположительно подчиняется закону нормального распределения, получена, например, несимметричная, двухвершинная (бимодальная) кривая, то следует еще раз проанализировать состав исследуемой группы и, исключив искажающие наблюдения, сделать группу однородной.

Медиана (Me) — значение варианты, делящей вариационный ряд пополам (с каждой стороны от медианы находится половина вариант).

Квартили (верхний – Qв и нижний – Qн) — значения вариант, делящих вариационный ряд (вместе с Me) на 4 части. Между Qн и Qв находится половина всех вариант. Порядковый номер варианты, являющейся медианой или квартилем, определяется по формулам:

Qн: (n+1) / 4; Me: (n+1) / 2; Qв: 3∙(n+1) / 4; (5)

В случае получения дробного значения порядкового номера его округляют до ближайшего целого числа.

Более точный расчет медианы в интервальном вариационном ряду следует производить по формуле:

, (6)

где XMe – начальное значение интервала, содержащего медиану;

D – ширина интервала;

SMe-1 – накопленная частота до интервала, содержащего медиану;

fMe – частота вариант в интервале, содержащем медиану.

Размеры Мо и Me не зависят от значений крайних вариант. В симметричном вариационном ряду они равны между собой и совпадают со значением средней арифметической. Мода особенно важна для характеристики несимметричного ряда. Медианой и квартилями обязательно нужно пользоваться при обработке ряда с открытыми крайними интервалами.

После определения обобщенных характеристик вариационного ряда следует установить его колеблемость, т.е. размеры варьирования значений изучаемого признака. Приближенно о колеблемости можно судить по амплитуде (размаху) вариационного ряда - разности максимальной и минимальной вариант. Более точно колеблемость ряда характеризует среднее квадратическое отклонение (s), вычисляемое по формуле:

(7)

Квадрат среднего квадратического отклонения (s2) называется дисперсией.

Небольшая величина среднего квадратического отклонения свидетельствует об однородности исследуемой группы наблюдений. Среднюю арифметическую в таком случае следует признать вполне характерной, типичной для данного вариационного ряда. Однако слишком малая величина s заставляет думать об искусственном подборе наблюдений. При очень большой s средняя арифметическая в меньшей степени характеризует весь вариационный ряд, что говорит о значительной вариабельности явления или неоднородности исследуемой группы.

Оценка степени рассеяния вариант около средней может быть произведена с помощью коэффициента вариации, вычисляемого по формуле:

(8)

Значения коэффициента вариации менее 10% свидетельствуют о малом рассеянии, от 10 до 20% – о среднем и более 20% – о сильном рассеянии вариант вокруг средней арифметической.

4 Точечная оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Характеристики нормального закона распределения М(Х), D(X) и а(Х) для генеральной совокупности представляют собой постоянные величины или параметры. По отношению к ним соответствующие выборочные характеристики , S2 и S — являются оценками генеральных параметров, т.е. приближенными значениями параметров генеральной совокупности.

Оценкой параметра генеральной совокупности называют всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра.

Оценки подразделяются на точечные и интервальные. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Основными свойствами оценок являются: несмещенность, эффективность и состоятельность.

Точечную оценку х* параметра х называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру х, т.е. М(х*) = х .

Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке параметров.

Так как оценка х* — случайная величина, значение которой изменяется от выборки к выборке, то величину ее отклонения от истинного значения параметров х можно охарактеризовать дисперсией D(х*).

Несмещенную оценку х*, которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра х, вычисленных по выборкам одного и того же объема, называют эффективной оценкой.

Оценку х* параметра х называют состоятельной, если при увеличении числа независимых наблюдений (п → ∞) с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между х* и х по абсолютной величине меньше сколь угодно малого положительного числа έ.

Рассмотрим, какие выборочные характеристики лучше всего оценивают математическое ожидание и дисперсию.

Если из генеральной совокупности взять к независимых выборок одинакового объема, то вычисленные по этим данным выборочные средние 1 ; 2;... к будут распределены по нормальному закону, а их математическое ожидание будет равно математическому ожиданию генеральной совокупности: М() = М(Х).

Таким образом, выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. При увеличении объема выборки (п → ∞) значение выборочного среднего стремится к параметру генеральной совокупности с вероятностью, близкой к единице, т.е. данная оценка является состоятельной. Касаясь эффективности оценки, приведем без доказательства важный для практики вывод. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то несмещенная оценка математического ожидания имеет минимальную дисперсию, равную: D () = .

Таким образом, оценкой математического ожидания служит выборочная средняя.

Точечной оцекой дисперсии генеральной совокупности является выборочная дисперсия:

| (9)

где п — объем выборки.

Данная оценка дисперсии является смещенной.

Для получения несмещенной точечной оценки дисперсии генеральной совокупности необходимо использовать формулу:

| (10)

Эту оценку называют исправленной выборочной дисперсией. Однако эта поправка существенна при малых значениях п, при п > 50 практически нет разницы между оценками S2 и Sв2. Можно показать, что оценки S2 и Sв2 являются состоятельными оценками D(X).

Выборочной оценкой среднего квадратического отклонения будет:

| (12)

С учетом полученной оценки генеральной дисперсии, выражение для дисперсии выборочной средней равно:

| (13)

Тогда ошибка выборочной средней равна:

| (14)

5 Интервальная оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

В некоторых случаях представляет интерес не получение точечной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности, а определение некоторого интервала, в котором может находиться этот параметр с заданной вероятностью. Интервальное оценивание более эффективно при малом числе наблюдений, когда точечная оценка мало надежна.

Доверительным интервалом (а, b) для параметра θ называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью Р, близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра θ.

Доверительный интервал как бы «накрывает» содержащийся в нем неизвестный параметр и гарантирует, с какой вероятностью оцениваемый параметр будет находиться внутри этого интервала (рисунок 3)

Рисунок 3 – Доверительный интервал для параметра θ

Вероятность, с которой гарантируется попадание параметра генеральной совокупности внутрь доверительного интервала, называется доверительной. Чаще в качестве доверительной вероятности используются следующие уровни вероятности: Р1 = 0,95; Р2 = 0,99 и Р3 = 0,999. Это означает, что параметр генеральной совокупности попадет в указанный интервал: в первом случае — в 95 случаях из 100, во втором — в 99 случаях из 100, а в третьем — в 999 случаях из 1000.

Иногда указывается не доверительная вероятность, а вероятность обратных случаев, когда параметр не попадает в указанный интервал. Вероятность таких маловероятных случаев называется уровнем значимости α и равна а = 1 – P.

Для нормального закона распределения, зная величину выборочной средней и ее ошибку, можно определить границы, в которых с той или иной вероятностью находится параметр генеральной совокупности – математическое ожидание. Эти границы называются доверительными и определяются по формуле:

| (15)

или

| (16)

где ta,f — величина нормированного отклонения, определяемая по таблицам распределения Стьюдента. Величина ta,f определяется вероятностью попадания генерального параметра в указанный интервал и числом степеней свободы f = п - 1, где п — объем выборки.

Так, при п = 30, f = 30 - 1 = 29 для Р= 0,95, t0.05, 29 = 2,05; для Р = 0,99, t0.01,29 = 2,76; для Р = 0,999, t0.001,29 = 3,66.

Из приведенных данных видно, что с увеличением доверительной вероятности границы интервала раздвигаются, т.е. увеличивается надежность попадания параметра в указанный интервал, но уменьшается точность его определения. И, наоборот, чем меньше вероятность, тем точнее оценка, однако увеличивается возможность промаха. С увеличением объема выборки п длина интервала уменьшается. Поэтому для сохранения высокой доверительной вероятности и повышения точности доверительной оценки необходимо увеличить объем выборки.

Обычно при определении доверительного интервала исходят из заданной величины. Если задан объем выборки, то подбирают соответствующую доверительную вероятность, и, наоборот, если задана доверительная вероятность, то определяют необходимый объем выборки.

6. Задачи для решения

Задача № 1

Исследователем произведено измерение веса (в кг) детей в возрасте 1 года. По результатам измерения построить вариационный ряд и его графическое представление.

8,50 | 10,50 | 8,3 | 9,7 | 8,6 | 10,6 | 10,1 | 8,2 | 10,2
9,3 | 10,1 | 9,6 | 8 | 9,2 | 9,1 | 8,8 | 10,8 | 9,6
9,4 | 9,5 | 8,8 | 10 | 9,7 | 9,5 | 10,3 | 8,5 | 9,5
9,6 | 9,8 | 10,1 | 8,7 | 10,7 | 10,1 | 9,3 | 10,3 | 9,7
9,8 | 9,2 | 9,6 | 9,4 | 9,1 | 8,6 | 10,1 | 9 | 9,9
10,2 | 8,7 | 9,2 | 10,2 | 9,8 |  |  |  |

Задача № 2

Исследователем произведено измерение уровня цинка (в мг) в крови детей. По результатам измерения определить основные характеристики выборочного распределения признака.

109,00 | 104,00 | 117 | 117 | 127 | 122 | 108 | 143 | 118
116 | 89 | 113 | 120 | 120 | 132 | 114 | 118 | 124
141 | 115 | 99 | 105 | 96 | 110 | 143 | 129 | 132
90 | 121 | 134 | 111 | 150 | 122 | 107 | 97 | 118
151 | 118 | 126 | 119 | 118 | 134 | 130 | 115 | 115
144 | 108 | 133 | 128 | 123 | 98 | 101 | 120 | 94
106 | 116 | 82 | 133 | 107 | 120 | 123 | 140 | 139
149 | 100 | 135 | 136 | 113 | 123 | 121 | 124 | 112
126 | 129 | 121 | 87 | 123 | 121 | 137 | 119 | 105
117 | 76 | 110 | 127 | 116 | 136 | 124 | 138 | 163
111 | 115 | 108 | 122 | 131 | 125 | 119 | 124 | 142

Задача № 3

Исследователем произведено измерение мембранного потенциала мышечной клетки в покое (с точностью до 1 мВ). По результатам измерения построить вариационный ряд и его графическое представление, определить основные характеристики вариационного ряда.

35 | 33 | 32 | 39 | 33 | 36 | 37 | 37 | 31
38 | 36 | 37 | 37 | 34 | 30 | 32 | 35 | 31
39 | 34 | 34 | 37 | 39 | 36 | 32 | 38 | 35
32 | 34 | 36 | 34 | 35 | 37 | 34 | 36 | 32
34 | 35 | 31 | 36 | 30 | 38 | 35 | 37 | 36
33 | 36 | 34 | 35 | 31 | 39 | 39 | 39 | 38
39 | 39 | 38 | 35 | 39 | 38 | 38 | 30 | 39
37 | 31 | 36 | 32 | 34 | 34 | 30 | 31 | 35
35 | 31 | 37 | 36 | 39 | 33 | 32 | 34 | 30
39 | 34 | 34 | 37 | 39 | 36 | 32 | 38 | 35

Задача № 4

Исследователем произведено измерение веса (в кг) детей в возрасте 1 года. Проверить соответствие полученных данных нормальному закону распределения случайной величины.

8,50 | 10,50 | 8,3 | 9,7 | 8,6 | 10,6 | 10,1 | 8,2 | 10,2
9,3 | 10,1 | 9,6 | 8 | 9,2 | 9,1 | 8,8 | 10,8 | 9,6
9,4 | 9,5 | 8,8 | 10 | 9,7 | 9,5 | 10,3 | 8,5 | 9,5
9,6 | 9,8 | 10,1 | 8,7 | 10,7 | 10,1 | 9,3 | 10,3 | 9,7
9,8 | 9,2 | 9,6 | 9,4 | 9,1 | 8,6 | 10,1 | 9 | 9,9
10,2 | 8,7 | 9,2 | 10,2 | 9,8 |  |  |  |

Задача № 5

Исследователем произведено измерение мембранного потенциала мышечной клетки в покое (с точностью до 1 мВ). Проверить соответствие полученных данных нормальному закону распределения случайной величины.

35 | 33 | 32 | 39 | 33 | 36 | 37 | 37 | 31
38 | 36 | 37 | 37 | 34 | 30 | 32 | 35 | 31
39 | 34 | 34 | 37 | 39 | 36 | 32 | 38 | 35
32 | 34 | 36 | 34 | 35 | 37 | 34 | 36 | 32
34 | 35 | 31 | 36 | 30 | 38 | 35 | 37 | 36
33 | 36 | 34 | 35 | 31 | 39 | 39 | 39 | 38
39 | 39 | 38 | 35 | 39 | 38 | 38 | 30 | 39
37 | 31 | 36 | 32 | 34 | 34 | 30 | 31 | 35
35 | 31 | 37 | 36 | 39 | 33 | 32 | 34 | 30
39 | 34 | 34 | 37 | 39 | 36 | 32 | 38 | 35