Тема №10

10 СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ ПО КОЛИЧЕСТВЕННОМУ ПРИЗНАКУ

В настоящее время в медицинских исследованиях используются два подхода к сравнению двух групп по количественному признаку:

1) с использованием доверительных интервалов (ДИ);

2) путем проверки статистических гипотез.

Перечисленные подходы основаны на одних и тех же допущениях и статистических принципах, поэтому они лишь дополняют друг друга. Вообще говоря, в настоящее время при описании результатов исследования рекомендуется представлять результаты применения обоих подходов.

Выбор подходящего метода сравнения определяется несколькими факторами:

· числом сопоставляемых групп;

· зависимостью или независимостью выборок (групп);

· видом распределения признаков.

Как уже упоминалось выше, выборки (группы) являются независимыми (несвязанными), если набор объектов исследования (участников) в каждую из групп осуществлялся независимо от того, какие объекты исследования (участники) включены в другую группу. Так, в частности, происходит при рандомизации, когда распределение участников исследования по группам происходит случайным образом.

Группы являются зависимыми (связанными), например, в следующих случаях:

· в исследовании случай—контроль, когда набор в группы осуществляется с использованием подбора пар;

· в динамических исследованиях, когда изучаются одни и те же объекты в разные моменты времени.

От вида распределения и типа исследуемого признака зависит выбор между двумя классами статистических методов — параметрическими и непараметрическими методами.

Параметрические методы применимы к количественным признакам, имеющим нормальное распределение.

Непараметрические методы применяются к количественным признакам независимо от вида их распределения (в том числе и к нормально распределенным признакам). В данной главе рассматривается решение следующих задач:

— сравнение одной выборки с генеральной совокупностью:

— в случае нормально распределенного признака;

— в случае любого распределения признака;

— сравнение двух независимых (несвязанных) выборок:

— ДИ для разности средних;

— параметрический метод;

— непараметрические методы;

— сравнение двух зависимых (связанных) выборок:

— ДИ для средней разности;

— параметрический метод;

— непараметрические методы;

— сравнение трех независимых (несвязанных) выборок и более:

— параметрический дисперсионный анализ;

— непараметрические методы;

— сравнение трех зависимых (связанных) выборок и более:

— непараметрический дисперсионный анализ.

10.1 Сравнение одной выборки с генеральной совокупностью

Задача. Известно среднее значение изучаемого признака в генеральной совокупности, необходимо сопоставить с ним среднее значение изучаемой группы.

Пример: обследованы дети в возрасте 10 лет; средний рост (по данным популяционных исследований) для детей такого возраста составляет 140 см. Необходимо выяснить, не отстают ли в росте дети исследуемой группы.

Решение зависит от того, каково распределение изучаемого количественного признака:

— нормальное;

— отличное от нормального или неизвестное.

—

10.1.1 Случай нормально распределенного признака

Способ 1 — оценка с помощью 95% доверительного интервала для среднего значения.

Если изучаемый признак распределен в изучаемой группе в соответствии с законом нормального распределения, то границы 95% ДИ для среднего определяются как М – t∙m; М + t∙m, где М — среднее значение, т — стандартная ошибка среднего, t — значение t-критерия для соответствующего числа степеней свободы и выбранного уровня статистической значимости. Число степеней свободы df=n – 1, где п — число объектов исследования в группе.

Значение t-критерия для конкретного случая можно узнать, воспользовавшись справочными таблицами.

Интерпретация результатов. Если рассчитанный ДИ не включает среднее генеральной совокупности, то с определенной долей уверенности (соответствующей доверительной вероятности, например 95%) можно считать, что выборка статистически значимо отличается от генеральной совокупности (популяции).

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— среднее значение генеральной совокупности;

— среднее значение, рассчитанное по выборке;

— границы 95% ДИ.

Способ 2 — проверка гипотез. Можно применить t-критерий Стьюдента, если изучаемый признак имеет нормальное распределение в выборке. При этом проверяется нулевая гипотеза об отсутствии различий средних. Альтернативная гипотеза — существование различий средних.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если вычисленные значение р>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий средних не отклоняется.

— Если р<0,05, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о том, что различия выборочного среднего и популяционного среднего значения существуют.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— среднее значение и СКО;

— название критерия;

— точное значение р.

—

10.1.2 Случай любого распределения признака

Способ 1 — вычисление 95% доверительного интервала для медианы. Если признак имеет распределение, отличающееся от нормального, или просто неизвестно, каково его распределение, то можно воспользоваться способом вычисления 95% ДИ для медианы.

Для этого нужно выполнить следующее:

1) по таблице с учетом объема выборки и необходимой доверительной вероятности найти ранги, значения которых соответствуют границам ДИ;

2) ранжировать значения изучаемого признака в порядке возрастания;

3) установить» которые из значений изучаемого признака соответствуют табличным рангам. Эти значения признака и являются границами ДИ.

Представление результатов. Привести следующую 'информацию:

— среднее генеральной совокупности или медиану;

— вычисленные медиану и границы 95% ДИ.

Способ 2 — проверка статистической гипотезы об отсутствии различий. Для этого необходимо использование критериев, алгоритмы которых и формулы для расчетов довольно сложны, поэтому мы рекомендуем пользоваться 1 способом.

10.2 Сравнение двух независимых (несвязанных) выборок

Существуют три способа сравнения двух независимых выборок по количественным признакам:

— вычисление ДИ для разности средних выборочных;

— параметрический метод проверки статистических гипотез — t-критерий Стьюдента для независимых выборок;

— непараметрические методы проверки статистических гипотез — критерии Манна—Уитни, Колмогорова—Смирнова, Вальда—Вольфовица.

—

10.2.1. Доверительный интервал для разности средних выборочных

Задача. Сравнить две независимые (несвязанные) группы по количественному признаку.

Пример: сравнить систолическое АД в группах, получавших разное гипотензивное лечение.

Решение. Сравнение групп с использованием ДИ получает в последние годы все большее распространение, так как оно обладает рядом преимуществ по сравнению с методом проверки статистических гипотез:

1) проще, так как не требуется использование статистических критериев;

2) показывает величину различий между группами;

3) легче интерпретировать результаты.

Ограничениями на применение этого метода является нарушение хотя бы одного из следующих условий:

— выборки случайны или хотя бы репрезентативны;

— выборки имеют равные СКО;

— объекты исследования в каждой из выборок независимы;

— признак непрерывен;

— признак имеет нормальное распределение в выборках (если число объектов исследования меньше 100).

Сравнение выборок с использованием ДИ осуществляют следующим образом:

1. Рассчитывают СКО для разности средних (mΔ):

— Если число объектов исследования в сравниваемых группах равно, то используют следующую формулу:

— Если число объектов исследования в группах не равно, то необходимо применять более сложные вычисления последовательно по двум формулам:

где sa — СКО в группе A, sb — СКО в группе В, sab — объединенное СКО.

2.Вычисляются границы ДИ для разности между средними значениями признака Δ=Ma-Mb в двух группах:

Δ±t∙mΔ

где t — значение t-критерия для числа степеней свободы (na + nb - 2) и выбранного уровня статистической значимости. Его значения для конкретного случая можно узнать, воспользовавшись справочными таблицами.

Пример: при наличии в двух выборках 31 объекта исследования (т.е. при числе степеней свободы 29) доверительной вероятности 95% (т.е. p=0,05) соответствует значение t=2,045, доверительной вероятности 99% — значение t=2,756, доверительной вероятности 90% - t=1,699.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если ДИ для разности средних включает ноль, то следует считать, что различия между группами по анализируемому признаку отсутствуют.

— Если 95% ДИ не включает ноль, то следует считать, что различие между группами существует при уровне статистической значимости 0,05.

— Если ДИ включает как клинически значимые, так и клинически незначимые значения, то результаты недостаточно точны для того, чтобы сделать определенный вывод.

Рекомендуемое представление результатов. Привести следующую информацию:

— результаты вычисления параметров распределения, или описательные статистики (число наблюдений, или объектов исследования, среднее, СКО) для каждой группы;

— разность средних (точечная оценка);

— границы 95% ДИ для разности средних (интервальная оценка).

—

10.2.2 Параметрический метод (t-критерий Стьюдента для независимых выборок)

Задача. Проверить, различаются ли средние значения изучаемого признака в исследуемых группах.

Пример: сравнить по возрасту две группы участников исследования.

Решение. Наиболее популярный метод решения такой задачи — использование t-критерия Стьюдента. Данный метод заключается в проверке нулевой гипотезы о том, что средние значения признака в сравниваемых группах не различаются. Если нулевая гипотеза по результатам теста отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о том, что средние значения в группах различны.

Однако применение этого метода в его классическом варианте правомерно лишь при одновременном соблюдении следующих двух условий:

1) значения признаков в каждой из сравниваемых групп должны иметь нормальное распределение;

2) дисперсии распределений признаков в двух сравниваемых группах равны.

Поэтому вычислению t-критерия должна предшествовать проверка гипотезы о том, что распределение признака в каждой из сравниваемых групп является нормальными.

Выполнение второго условия (равенства дисперсий распределений признаков) может быть проверено с помощью критерия Левена либо с помощью F-критерия в процедуре дисперсионного анализа ANOVA.

Вместе с тем данный тест считается достаточно устойчивым к незначительным нарушениям своих допущений.

Если хотя бы одно из вышеуказанных условий не выполняется, то для проверки гипотез об отсутствии различий характеристик выборок необходимо пользоваться непараметрическими методами.

Помимо классического критерия Стьюдента, статистические пакеты содержат и его модификацию, которая позволяет учесть возможное невыполнение второго условия — расчет t-критерия с учетом неравных дисперсий.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— При р<0,05 для критерия Левена следует сделать вывод о различии дисперсий распределений признаков в сравниваемых группах. В этом случае следует принимать во внимание только значения р для t-критерия с раздельными оценками дисперсий.

— При p>0,05 для критерия Левена следует сделать вывод о равенстве дисперсий в группах. В этом случае можно принимать во внимание любой из результатов — классического t-критерия или t-критерия для выборок с разными дисперсиями.

— Оценивается подсчитанное значение р для t-критерия (классического или модифицированного). Если p>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий средних значений не отклоняется. Если p<0,05, то следует нулевую гипотезу отклонить и принять альтернативную гипотезу о различии средних значений в сравниваемых группах.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования в каждой из групп;

— средние значения и СКО изучаемого признака для каждой из групп;

— результаты применения критериев для оценки нормальности распределения и равенства дисперсий в случае, если используется классический критерий Стьюдента;

— результаты применения критерия для оценки нормальности распределения и указание на использование модифицированного критерия Стьюдента для групп с различными дисперсиями;

— точное значение р.

—

10.2.3 Непараметрические методы

Задача. Сопоставить две группы по одному или нескольким количественным признакам, имеющим хотя бы в одной из групп распределение, отличное от нормального или если вид распределений не анализировался.

Пример: сравнить две группы больных по реологическим свойствам крови в случае, если анализ видов распределений не проводился или проводился и показал, что распределения признаков отличаются от нормальных.

Решение. Для сопоставления двух групп по количественным признакам, которые не являются нормально распределенными или вид распределений которых не анализировался, существует несколько способов:

— с помощью U-критерия Манна—Уитни. Условия применимости метода: анализируемые признаки должны быть количественными или порядковыми. Проверяется гипотеза о равенстве средних рангов (в отличие от t-критерия, где проверяется гипотеза о равенстве средних значений);

— с помощью критерия серий Вальда—Вольфовица. Этот критерий применяется для проверки гипотезы о том, что исследуемые группы получены из одной и той же генеральной совокупности. Условия применимости метода тс же: анализируемые признаки должны быть количественными или порядковыми;

— с помощью двухвыборочного критерия Колмогорова—Смирнова. Критерий применяется для проверки гипотезы о том, что исследуемые труппы получены ил одной и той же генеральной совокупности. Условия применимости метода – те же.

С помощью каждого из этих методов проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

В ходе анализа с применением статистических пакетов будут рассчитаны и выведены в окно результатов различные параметры. В этом окне следует обратить внимание на столбец «р-уров», в который выводятся рассчитанные значения р.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если р>>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий групп не отклоняется.

— Если р<0,05, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп с уровнем статистической значимости р.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— медианы и ДИ для каждой из групп;

— название статистического критерия;

— точное значение р.

Критерий U (Манна—Уитни). Для расчета критерия U необходимо расположить данные первой (х) и второй группы (y) в один ряд по их величине, но так, чтобы было видно, к какой группе принадлежит каждая величина. Затем подсчитывается число инверсий, т. е. число величин второй группы (у), предшествующих каждой величине первой группы (х). Полученное число инверсий принимается за величину критерия U.

Например, требуется установить, существенна ли разница в содержании ацетилированного сульфаниламида у кроликов, которым вводился физиологический раствор, и теми животными, которым вводился кортизон (табл. 10.1). Из таблицы видно, что величинам группы х: 8,8 и 9,6 предшествует одна величина группы у-7,1, т.е. они имеют по одной инверсии. Величинам 14,3 и 14,7 предшествуют по две величины другой группы (7,1 и 13,4). Полученное число инверсий суммируем и находим U=114.

Таблица 10.1 - Применение критерия U для оценки различий в содержании ацетилированного сульфаниламида у двух групп кроликов

Ранжированные данные: % ацетилированного сульфаниламида у кроликов, которым вводился | Последовательность величин | Число инверсий
физиологический раствор (x) | кортизон (y)
| 7,1 | y |
8,8 |  | x | 1
9,6 |  | x | 1
| 13,4 | y |
14,3 |  | x | 2
14,7 |  | x | 2
| 16,3 | y |
20,4 |  | x | 3
| 20,4 | y |
| 25,4 | y |
25,6 |  | x | 5
| 26 | y |
| 32,8 | y |
33,3 |  | x | 7
35 |  | x | 7
| 36,7 | y |
37,5 |  | x | 8
| 40 | y |
43,6 |  | x | 9
| 46,9 | y |
| 48,3 | y |
| 50 | y |
| 50 | y |
52,3 |  | x | 13
| 52,9 | y |
55,3 |  | x | 14
57,9 |  | x | 14
64,6 |  | x | 14
64,8 |  | x | 14
| 65,2 | y |
nx=15 | ny=15 | U=114

Серийный критерий S (В а л ь д а— В о л ь ф о в и ц а). В основе критерия лежит подсчет числа серий, т. е. чередований вариант двух сравниваемых групп наблюдений в общем ранжированном ряду. Например, в ряду, составленном из вариант групп х и у: имеется пять серий. Полученное число серий принимается за величину критерия S.

Рассмотрим вычисление ero на примере оценки различий в уровне механической резистентности эритроцитов (в %) у больных шизофренией (х) и больных, не страдающих данным заболеванием (у)

Х – 3,8 0,5 1,7 1,0 5,4 4,9 3,1 4,5 nx=8

Y – 10,5 13,8 9,2 6,2 7,6 3,0 5,3 8,2 3,9 7,0 3,5 5,0 2,2 6,2 ny=14

Построим ранжированный ряд, сохраняя варианты х и у в отдельных строках и подсчитаем число серий:

Величина | x | 0,5 1,0 1,7 |  | 3,1 |  | 3,8 |  | 4,5 4,9 |  | 5,4 |
Число серий | 1 |  | 3 |  | 5 |  | 7 |  | 9 |
Величина | y |  | 2,2 3,0 |  | 3,5 |  | 3,9 |  | 5,0 5,3 |  | 6,2 6,2 7,0 7,6
Число серий |  | 2 |  | 4 |  | 6 |  | 8 |  | 10

Критерий Колмагорова-Смирнова. Этот критерий является более мощным чем серийный критерий, особенно при большом числе наблюдений. Он основан на сравнении рядов накопленных частот. Схему вычисления критерия рассмотрим на примере определения значимости различий в росте однослойных культур фибробластов под влиянием кортизон-ацетата (х) и в контроле (типичная среда без стероидов —у) (табл. 10.2).

Методика расчета критерия Колмогорова — Смирнова будет следующая:

1. Располагаем варианты обеих групп в один возрастающий ряд (графа 1);

2. В графах 2 и 3, записываем раздельно частоты вариант каждой группы (fx и fy);

3. Последовательно суммируем частоты fx и fy , составляя ряды накопленных частот Sx и Sy, которые записываем в графах 4 и 5;

4. Путем деления накопленных частот на число наблюдений в каждой группе получаем ряды накопленных частностей (графы 6 и 7);

Таблица 10.2 - Применение критерия Колмогорова — Смирнова для оценки различий в росте двух культур фибробластов

Варианты обоих рядов в возрастающем порядке | Частоты вариант по группам | Накопленные частоты по группам | Накопленные частости по группам | Разности sx/nx-sy/ny (без учета знаков)
fx | fy | Sx | Sy | Sx/nx | Sy/ny
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
198 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0,091 | 0,091
242 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0,182 | 0,182
253 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0,273 | 0,273
264 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 0,364 | 0,364
286 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 0,455 | 0,455
297 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 0,545 | 0,545
319 | 1 | 2 | 1 | 8 | 0,091 | 0,727 | 0,636
341 | 0 | 1 | 1 | 9 | 0,091 | 0,818 | 0,727
352 | 0 | 1 | 1 | 10 | 0,091 | 0,909 | 0,818
385 | 1 | 0 | 2 | 10 | 0,182 | 0,909 | 0,827
429 | 1 | 1 | 3 | 11 | 0,273 | 1 | 0,717
440 | 1 | 0 | 4 | 11 | 0,364 | 1 | 0,636
473 | 2 | 0 | 6 | 11 | 0,515 | 1 | 0,455
517 | 1 | 0 | 7 | 11 | 0,636 | 1 | 0,364
539 | 1 | 0 | 8 | 11 | 0,727 | 1 | 0,273
594 | 1 | 0 | 9 | 11 | 0,818 | 1 | 0,182
638 | 1 | 0 | 10 | 11 | 0,909 | 1 | 0,091
660 | 1 | 0 | 11 | 11 | 1 | 1 | 0

5. Определяем разности между накопленными частностями (без учета их алгебраических знаков) и находим максимальную разность D (в нашем примере 0,818).

6. Вычисляем критерий Колмогорова.—Смирнова l2 по формуле:

10.3 Сравнение двух зависимых (связанных) выборок

Ниже описаны три подхода к сопоставлению двух зависимых (связанных) групп:

— с использованием ДИ для средней разности значений признака (для нормальных распределений признаков);

— параметрический метод — t-критерий для зависимых выборок (в случае нормальных распределений признаков);

— непараметрические методы — вычисление критерия Вилкоксона и критерия знаков (для выборок с любыми распределениями признаков)-

В процедурах анализа зависимых групп отбрасываются неполные наблюдения (т.е. объекты, или участники, исследования с пропущенными значениями, например выбывшие участники исследования, для которых отсутствует информация о конечных значениях признаков), следовательно, количества объектов исследования в сопоставляемых столбцах оказываются равными.

10.3.1 Доверительный интервал для средней разности

Задача определения ДИ для средней разности возникает в случаях, когда значение исследуемого признака у участника исследования из первой группы может быть ближе к значению признака у определенного участника исследования из второй группы, чем к значению случайно выбранного участника исследования из второй группы. Такие ситуации возникают в следующих случаях:

— при обследовании участников исследования до и после изучаемого воздействия (вмешательства);

— при изучении групп, сформированных из подобранных пар участников исследования;

— при обследовании близнецов или детей с родителями;

— в лабораторных исследованиях с параллельным контролем.

При анализе двух зависимых выборок могут быть вычислены разности значений признака для каждой пары наблюдений (например, разность значений признака до и после исследования), а затем для группы в целом вычислена средняя разность.

Условия применимости метода:

— пары участников исследования должны быть случайно выбраны из генеральной совокупности или по крайней мере репрезентативны;

— разности значений изучаемого признака для пары участников исследования в генеральной совокупности должны быть распределены нормально. Чем больше выборка, тем менее существенно это ограничение.

Методика вычисления ДИ для средней разности значений парных признаков состоит в следующем:

1. Вычислить разности значений Δ для каждой пары значений признака, причем уменьшаемое всегда должно соответствовать одной группе, а вычитаемое — другой. В динамических исследованиях принято всегда вычитать значение "до" из значения "после". В таких случаях положительное значение разности соответствует увеличению значений признака во времени, а отрицательное — уменьшению.

2. Вычислить среднюю разность Δ, а также ее стандартную ошибку mΔ.

3. Вычислить границы ДИ для средней разности значений признака в двух группах по формулам:

где t — значение t-критерия для числа степеней свободы (n—1) и выбранного уровня статистической значимости.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если ДИ для средней разности включает ноль, то следует считать, что различий между группами нет.

— Если 95% ДИ не включает ноль, то следует считать, что различия групп существуют с уровнем статистической значимости 0,05.

— Если ДИ включает как клинически значимые, так и клинически незначимые значения, то результаты недостаточно точны для того, чтобы сделать определенный вывод.

Рекомендуемое представление результатов. Привести следующую информацию:

— число участников исследования в каждой из групп;

— результаты, полученные с помощью методов описательной статистики (число объектов исследования, среднее, СКО) для каждой группы;

— среднюю разность (точечная оценка);

— границы 95% ДИ для средней разности (интервальная оценка).

—

10.3.2 Параметрический метод (t-критерий Стьюдента для зависимых выборок)

Задача. Проверить, различаются ли средние значения количественного признака до и после лечения, если известно, что в обоих случаях распределение признака является нормальным.

Решение. Использование t-критерия для связанных выборок (зависимых групп) возможно при условии выполнения допущения — распределения признаков в каждом из сопоставляемых столбцов должны быть нормальными, а дисперсии равными. Поэтому применению t-критерия должна предшествовать проверка гипотезы о том, что распределения признака в каждом из сравниваемых столбцов являются нормальными.

С помощью t-критерия осуществляют проверку нулевой статистической гипотезы Н0 об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

После проведения проверки с помощью статистического пакета в окне результатов следует обратить внимание на значения р в столбце «р-уров» (р — вероятность возникновения ошибки при отклонении нулевой гипотезы, т.е. вероятность ошибочно выявить различия между группами, хотя их на самом деле нет).

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если р>0,05, то нулевая гипотеза о том, что средние значения изучаемого признака в двух выборках не различаются, не отклоняется.

— Если р<0,05, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о существовании различий средних в двух выборках с уровнем статистической значимости р.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования для каждой из выборок;

— утверждение о выполнении условий применимости метода (желательно аргументированное);

— средние значения изучаемого признака и СКО для каждой из групп;

— название статистического критерия;

— точное значение р.

10.3.3. Непараметрические методы (критерий знаков, критерий Вилкоксона)

Задача. Сравнить две связанные (зависимые) выборки по какому-либо признаку (или нескольким признакам) в любом из следующих случаев:

— анализируемый признак является количественным, но вид его распределений в выборках не анализировался;

— анализируемый признак является количественным, но хотя бы в одной из выборок его распределение не является нормальным;

—анализируемый признак является качественным порядковым.

Пример: сравнить показатель агрегации тромбоцитов у больных до и после лечения антиагрегантами в случае, если анализ видов распределений не проводился или проведенный анализ показал, что распределения признаков отличаются от нормальных.

Решение. Для сопоставления двух выборок по количественным признакам (которые не являются нормально распределенными в исследуемых выборках, или вид распределений которых не анализировался) или порядковым признакам рекомендуется применять два метода:

— критерий знаков. Условие применимости метода: анализируемые признаки должны быть количественными;

— критерий Вилкоксона для парных сравнений. Этот критерий мощнее, чем критерий знаков.

Для применения любого из указанных методов сопоставляемые признаки (или один признак, наблюдаемый в разные моменты времени в одной группе объектов исследования) должны располагаться в таблице данных в разных столбцах.

При применении указанных критериев проверяется нулевая статистическая гипотеза Н0 об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

После проведения проверки с помощью статистического пакета в окне результатов любой из этих процедур будет выведен столбец "р-уров.", содержащий рассчитанные значения р при проверке статистической гипотезы.

Интерпретация результатов. Полученные результаты следует интерпретировать следующим образом.

— Если р>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий групп по изучаемому признаку не отклоняется.

— Если р<0,05, то нулевая гипотеза отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза о существовании различий групп по изучаемому признаку.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования для каждой из групп;

— медианы и границы интерквартильного отрезка для каждой из групп;

— название статистического теста;

— точное значение р.

10.4 Сравнение трех и более независимых (несвязанных) выборок

Задача. Установить, различаются ли три группы или более по какому-либо одному количественному признаку.

Решение. Казалось бы, что в случае, если имеется три группы или более, нужно просто попарно сравнить их друг с другом. Однако такие сопоставления чреваты возникновением, так называемой проблемы множественных сравнений. Поэтому для ситуации сравнения нескольких групп следует использовать другой метод — однофакторный дисперсионный анализ, состоящий из нескольких этапов.

Приведем классификацию методов дисперсионного анализа.

1. По количеству анализируемых признаков:

— однофакторный (анализ различий групп по одному признаку);

— многофакторный (анализ различий групп одновременно по двум признакам и более).

2. По принципам анализа:

— параметрический (для анализа нормально распределенных признаков в группах);

— непараметрический (для анализа количественного признака независимо от вида его распределения в группах).

3. По анализируемым данным:

— данные, полученные в несвязанных (независимых) выборках (в частности, данные однократных наблюдений);

— данные, полученные в связанных (зависимых) выборках (в частности, данные повторных наблюдений).

—

10.4.1 Параметрический дисперсионный анализ

Задача. Сравнить три (или более) группы по количественному нормально распределенному признаку.

Пример: сравнить три группы больных с разными заболеваниями по содержанию в сыворотке крови липоперекисей.

Решение. Если необходимо сравнить средние значения количественного, нормально распределенного признака в группах, число которых больше двух, необходимо пользоваться параметрическим однофакторным анализом вариаций (ANOVA).

В процедуре параметрического анализа вариаций общая вариация данных рассматривается как сумма двух видов вариаций — вариации между средним каждой группы и общим средним значением всей выборки (межгрупповая вариация), а также вариации между каждым объектом исследования группы и средним значением соответствующей группы (внутри-групповая вариация). Если межгрупповая вариация оказывается статистически значимо больше внутригрупповой вариации, то можно полагать, что различия между средними значениями групп существуют. В данном методе проверяется нулевая гипотеза о том, что группирующий фактор (группирующий признак) не влияет на значения исследуемого признака. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

Условия применимости метода:

— анализируемый признак является количественным;

— анализируемый признак нормально распределен в каждой из групп;

— дисперсии анализируемого признака в группах равны;

— группы определяются (детерминируются) качественным признаком (группирующий признак является качественным).

Таким образом, проведению параметрического дисперсионного анализа должна предшествовать проверка гипотез о виде распределений признака в группах.

Проверка гипотез о равенстве дисперсий входит в собственно процедуру дисперсионного анализа в качестве его I этапа.

В случае, если указанные условия выполняются, применение параметрического дисперсионного анализа корректно. Обычно он проводится в три этапа:

1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий.

2. Собственно анализ вариаций.

3. Апостериорное сравнение групп с помощью специальных процедур, отличных от t-критерия Стьюдента.

10.4. 1.1 Проверка гипотез о равенстве дисперсий

Первым этапом параметрического дисперсионного анализа является проверка одного из условий его применимости, т.е. проверка равенства дисперсий в группах.

Решение. При использовании любого теста (Тест Левена) сравнения групп происходит проверка нулевой статистической гипотезы Н0, об отсутствии различий дисперсий в группах. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различия дисперсий в группах.

Интерпретация результатов. Тест Левена проверяет гипотезу о равенстве дисперсий исследуемого количественного признака в группах, определяемых значениями фактора (группирующего качественного признака).

— Если результат теста Левена свидетельствует об отсутствии различия дисперсий (при р>0,05), то применение параметрического дисперсионного анализа обосновано.

— Если результат свидетельствует, что различие дисперсий имеется (р<0,05), то применять параметрический дисперсионный анализ не следует. В этом случае можно воспользоваться процедурой непараметрического дисперсионного анализа.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования в каждой из групп;

— средние значения и СКО изучаемого признака в каждой из групп;

— название статистического критерия;

— точное значение р.

10.4.1.2 Собственно дисперсионный анализ

Для проведения собственно параметрического дисперсионного анализа с помощью статистического пакета существует критерий "Дисперсионный анализ" ("ANOVA/ MANOVA").

При использовании данного статистического критерия проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

Результаты проверки обычно представляются в виде таблицы. В данной таблице результатов следует обратить внимание на столбец "р двухст.”.

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если р>0,05, то нулевая гипотеза об отсутствии различий средних значений в группах не отклоняется, т.е. группы считаются не различающимися. В этом случае парный анализ групп нецелесообразен.

— Если р<0,05, то нулевая гипотеза отклоняется, и принимается альтернативная гипотеза о существовании различий средних значений в группах. В этом случае следует перейти к апостериорному сравнению групп.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования в каждой из групп;

— точное значение р;

— ДИ для средних каждой группы (желательно). Способ их вычисления дан ниже;

— таблицу результатов анализа вариаций (желательно).

10.4.1.3 Апостериорные сравнения выборок

Если при анализе вариаций получены статистически значимые результаты о различии групп, то у исследователя возникает естественное стремление выяснить, которые же из нескольких групп попарно отличаются друг от друга. Применение в этой ситуации обычных методов сравнения двух групп (например, критерия Стьюдента) не может быть рекомендовано, так как многократные сравнения нескольких групп попарно с помощью этого теста порождают так называемую проблему множественных сравнений. Для решения задачи парных сравнений нескольких групп разработаны специальные методы — "Апостериорные сравнения средних" ("Post-hoc comparisons of means"). При использовании любого из них проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

Воспользовавшись каким-либо из имеющихся методов, можно выявить пары групп, средние значения которых различаются статистически значимо. Результаты (значения р, полученные при сопоставлении групп попарно) представляются в таблице результатов, симметричной относительно главной диагонали (главная диагональ соединяет левый верхний и правый нижний углы таблицы).

Интерпретация результатов. Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.

— Если р>0,05, то нулевую гипотезу об отсутствии различий групп не отклоняют.

— Если р<0,05 для какой-либо из пар групп, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о существовании различий этих групп.

Возможен вариант, когда, несмотря на полученное на этапе собственно дисперсионного анализа статистически значимое различие групп, ни в одной из пар групп при парном сравнении не будет получено статистически значимых различий. Это связано со значительной консервативностью методов множественного сравнения, т.е. их малой статистической мощностью (чувствительностью) в выявлении незначительных различий при небольших размерах групп. В этом случае рекомендуются следующие варианты дальнейших действий:

— переход к парному сравнению групп с помощью методов сопоставления двух выборок (например, критерию Стьюдента) с ограничением числа сравниваемых групп и применением поправки Бонферрони (т.е. с делением установленного уровня значимости р (например, 0,05) на количество парных сравнений (например, на 6) и установкой полученного частного (в нашем примере 0,05/6=0,008) в качестве нового уровня статистической значимости;

— объединение некоторых групп и повторение анализа.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— ДИ (желательно) для разности средних значений пар групп, которые статистически значимо различаются;

— название статистического критерия апостериорного сравнения групп;

— точное значение р для каждой пары сравниваемых групп.

Вычисление доверительного интервала для разности средних любых двух групп в параметрическом дисперсионном анализе.

Сначала рассчитывают стандартную ошибку для разности средних тΔ:

где па — число наблюдений (объектов исследования) в группе А,

пь — число наблюдений (объектов исследования) в группе В,

sres— остаточное СКО (квадрат его значения — средний квадрат внутригрупповой вариации, который выводится в таблице результатов процедуры "Анализ вариаций" ("Analysis of variance") в столбце "Ср. квадр. ошибки" ("MS Error").

2. Затем вычисляют границы ДИ для разности между средними значениями Δ=(Ма-Мв) в двух группах:

где t — значение t-критерия для числа степеней свободы (na-nb-2) и выбранною уровня статистической значимости, обычно принимается равным 1,96 для 95% ДИ.

Значение t для конкретного случая можно узнать, воспользовавшись справочными таблицами.

10.4.2 Непараметрические методы сравнения независимых выборок

Задача. Сопоставить три группы и более по одному количественному или порядковому признаку независимо от вида его распределения в группах.

Пример: сравнить три группы больных с разным патогенезом острого инсульта по значению неврологического дефицита, измеренного по Скандинавской шкале.

Для решения такой задачи рекомендуется два метода:

1) ранговый анализ вариаций по Краскелу—Уоллису — обобщение метода Манна—Уитни для сравнения трех групп и более;

2) медианный тест — грубый вариант метода Краскела—Уоллиса. Этот тест наиболее эффективен в случаях, если шкала измерений признака имеет искусственные границы, т.е. большое число объектов исследования приходится на крайние значения шкалы.

При использовании каждого из методов проверяется нулевая статистическая гипотеза Н0 об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

Условия применимости метода. Анализируемый признак должен быть количественным или порядковым. Ограничений на вид распределения нет, поэтому перечисленные методы служат альтернативой параметрическому дисперсионному анализу в следующих случаях:

— если распределение признака не является нормальным;

— если вид распределения неизвестен (не исследовался).

При использовании для анализа статистических пакетов в окне результатов будут выведены значения р для критерия Краскела— Уоллиса и медианного теста соответственно.

Интерпретация результатов.

1.В ANOVA Краскела—Уоллиса проверяется гипотеза о том, получены ли изучаемые группы из одной генеральной совокупности либо из разных генеральных совокупностей с равными медианами.

— Если р>0,05, то нулевую гипотезу об отсутствии различий групп, т.е. о том, что они получены из одной генеральной совокупности или из генеральных совокупностей с равными медианами, не отклоняют.

— Если р<0,05, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о различии групп, т.е. делается вывод о том, что группы получены из разных генеральных совокупностей или генеральных совокупностей с разными медианами.

В этом случае рекомендуется провести парное сравнение групп с использованием непараметрического теста Манна—Уитни, применяя поправку Бонферрони при оценке значения р.

2.Медианный тест проверяет ту же гипотезу путем анализа генерируемых таблиц сопряженности с использованием критерия χ2. Интерпретация в отношении вычисляемого р аналогична ANOVA.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования в каждой из групп;

— медианы и квартили для каждой группы;

— название статистического критерия;

— точное значение р.

10.5 Сравнение трех и более связанных (зависимых) выборок

Задача. Сопоставить значения признака на разных этапах динамического исследования.

Пример: сравнить значения вязкости крови на трех этапах лечения препаратом, улучшающим реологические свойства крови.

Решение. Необходимо сопоставить значения одного и того же признака в разные моменты времени, т.е. сопоставить не группы участников исследования, а одних и тех же участников исследования в разные моменты времени (повторные наблюдения, представленные в разных столбцах таблицы данных). Для этого предлагаются следующие процедуры непараметрического дисперсионного анализа:

— ранговый дисперсионный анализ по Фридмену:

— вычисление коэффициента конкордации Кендалла. Этот коэффициент часто используется также для решения о том, насколько согласованы оценки экспертов.

При использовании данного статистического критерия проверяется нулевая статистическая гипотеза об отсутствии различий групп. Если нулевая гипотеза отклоняется, то следует принять альтернативную гипотезу о существовании различий групп.

Условия применимости метода. Анализируемые признаки должны быть количественными (с любым видом распределения).

Интерпретация результатов. В ходе анализа проверяется гипотеза о том, что указанные признаки получены из одной и той же генеральной совокупности или из разных генеральных совокупностей с равными медианами.

— Если р>0,05, то нулевая гипотеза о том, что признаки получены из одной генеральной совокупности или генеральных совокупностей с равными медианами, не отклоняется.

— Если р<0,05, то следует отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу о том, что признаки получены из разных генеральных совокупностей или генеральных совокупностей с разными медианами. В этом случае рекомендуется провести парное сравнение групп с использованием непараметрического теста Вилкоксона, применяя поправку Бонферрони при оценке вычисленного р-значения.

Коэффициент конкордации Кендалла отражает степень связи признаков. В данной процедуре вычисляется его значение.

Представление результатов. Привести следующую информацию:

— число объектов исследования для каждой из групп;

— медианы и квартили для каждой группы;

— название теста;

— точное значение р.